Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Chí Linh - Hải Dương

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

Năm học 2022-2023 Môn: TOÁN - LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Câu 1: (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( ) ( ) ( ) 4 4 4 a b c b c a c a b − + − + −

2) Cho ba số , , 0 a b c thỏa mãn: a b c b a c b c a a c b + + = + + . Tính giá trị của

biểu thức sau: ( )( )( )( )

2022 2 3 2023 P a b b c c a a b c = − − − + + +

Câu 2: (2,0 điểm)

1) Giải phương trình:

2 2 1 2 4 1 3. 0 2 3 3 x x x x x x − + −     − + =     + − −    

2) Đa thức ( ) f x chia cho 1 x + dư 4, chia cho 2 1 x + dư 2 3 x + . Tìm phần

dư khi chia đa thức ( ) f x cho ( )( ) 2 1 1 x x + + .

Câu 3: (2,0 điểm)

1) Tìm các cặp số nguyên ( ) ,x y thỏa mãn: 2 2 8 4 2 4 4 x y xy x y + + − − = .

2) Chứng minh rằng nếu số nguyên n lớn hơn 1 thoả mãn 2 4 n + và 2 16 n + là các số nguyên tố thì n chia hết cho 5. Câu 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh: 2 AH BH CH AD BE CF + + =

2) Gọi M là trung điểm của AC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, đường thẳng này cắt AB, BC lần lượt tại P, Q. Chứng minh AM.BQ = AH.BH.

3) Chứng minh MPQ là tam giác cân. Câu 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 a b c abc + +  .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + + + +

------------------ Hết ---------------- * Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

UBND THÀNH PHỐ CHÍ LINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU

HỌC SINH GIỎI Năm học 2022-2023 Môn: TOÁN - LỚP 8 (Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang)

Câu Ý Đáp án Điểm

Câu 1 (2 điểm)

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

4 4 4

4 4 4 4 a b c b a b b c c a b

a b c b a b b b c c a b

= − − − + − + −

= − − − − − + −

0,25

( )( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( )( )( )

4 4 4 4

2 2 2 2 b c a b a b b c

b c a b a b a b a b b c b c b c

= − − − − −

= − − + + − − − + +

0,25

( )( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

3 2 2 3 3 2 2 3

2 2 2

a b b c a ab a b b b bc b c c

a b b c a c a ac c b a c b a c a c

= − − + + + − − − −

  = − − − + + + − + − +  

0,25

( )( )( )( ) 2 2 2 a b b c a c a b c ab bc ca = − − − + + + + + 0,25

2

Với , , 0 a b c , ta có:

a b c b a c b c a a c b + + = + +

( ) 2 2 0 0 b a c a b c b a c a c a c b c a a c b b ac ac

− − −  + + − − − =  − + =

0,25

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1 0 ( ) 0

0

a c b a c a c ac ab bc b b ac ac

a c a c b b c b

+    − − + =  − − − + =      − − − − =    

0,25

( )( )( ) 0 a c c b a b  − − − = 0,25

( )( )( )( )

2022 2 3 2023

0 2023 2023

P a b b c c a a b c  = − − − + + +

= + =

0,25

Câu2 (2điểm) 1

ĐKXĐ: 2 , 3 x x − 

Ta có : 1 2 1 . 2 3 3 x x x x x x − + − = + − −

Đặt 1 2 1 ; 2 3 3 x x x a b ab x x x − + − = =  = + − −

0,25

Khi đó ta có phương trình :

( )

2 2 2 2 2 3 0 3 4 0 a b ab a ab b − + =  + − = 0,25

( )( ) 4 0 4 a b a b a b a b =   − + = = − 

Trường hợp 1:

( )

2 2 1 2 4 3 2 4 3 4 4 2 3

1 8 1 0 ( / ) 8

x x a b x x x x x x x

x x t m

− + =  =  − + = + − + = + + −

−  + =  =

0,25

Trường hợp 2:

2 2

2 2

1 4 8 4 4 3 4 16 16 2 3

6 59 5 12 19 0 5 0 5 5

x x a b x x x x x x

x x x

− − − = −  =  − + = − − − + −

   + + =  + + =    

Do

2 6 59 59 5. 0 x R 5 5 5 x   + +        

phương trình

2 6 59 0 5 5 x   + + =    

vô nghiệm

Vậy PT có nghiệm là 1 8 x − =

0,25

2

( )

2 2 2 2 8 4 2 4 4 2 1 4 5 x y xy x y x y y + + − − =  + − + =

Do ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 4; 2 1 0;4 0 , ; 2 1 ,4 y x y y x y x y y + −    + − là số

chính phương nên ( )

2

2 4 4

2 1 1

y

x y

 =  + − = 

0,25

+ TH1: ( ) ( ) 2 2

1 1 1

0 2 1 1 1 1 2

y y y

x x y x x

=  = =        =     + − = + =       = −  

(t/m) 0,25

+) TH2:

( ) ( ) 2 2

1 1 1

4 2 1 1 3 1 2

y y y

x x y x x

= −  = − = −        =     + − = − =       =  

(t/m)

0,25

Vậy các cặp số nguyên( ) ( ) ( ) ( ) ( )   ; 0;1 ; 2;1 …