Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Vĩnh Lộc - Thanh Hóa

Bài 1: (4 điểm).

Cho biểu thức 3 2 x 4 1 x 8 P : 1 x 1 x 1 x x 1 − −    = + −    − − + +    (Với x 1) ≠

a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của biểu thức P khi x là nghiệm của phương trình: x2 –3x +2 = 0 c) Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên. Bài 2: ( 4 điểm).

1. Giải phương trình : 18 3 9 3 4 24 10 2 4 5 3

2 2 2 − + + = + + + + + x x x x x x

2. Tìm đa thức P(x) thoả mãn: P(x) chia cho x + 3 dư 1; chia cho x – 4 dư 8; chia cho (x + 3)(x – 4) được thương là 3x và còn dư. Bài 3: ( 4 điểm).

1) Tìm số tự nhiên có 9 chữ số: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A a a a b b b a a a = trong đó 1 0 a ≠ và

1 2 3 1 2 3 2. b b b a a a = và đồng thời A viết được dưới dạng 2 2 2 2 1 2 3 4 . . . A p p p p = với 1 2 3 4 , , , p p p p là bốn số nguyên tố.

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 3 4 19 x y x + + = . Bài 4: (6 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A ( ) AB AC < gọi AD là tia phân giác của góc BAC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của D trên AB và AC; E là giao điểm của BN và DM, F là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông và / / . EF BC b) Gọi H là giao điểm của BN và CM. Chứng minh ANB ∆ đồng dạng với NFA ∆ và H là trực tâm AEF ∆ . c) Gọi P là điểm trên AN, Q là điểm trên AM sao cho AP = MQ. Tìm vị trí của P và Q để diện tích tứ giác MQPN đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 5: ( 2 điểm). 1) Cho

3 2 a 3ab 5 − = và 3 2 b 3a b 10 − = . Tính S = 2 2 2023 (2022a 2022b ) + 2) Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn: 1 a b c + + = .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 ab bc ca S a b b c c a a b c   = + + + + +   + + +   -------------------------------Hết-------------------------------

Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ................ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

PHÒNG GD&ĐT VĨNH LỘC CỤM TRUNG HỌC CƠ SỞ

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI 6, 7, 8

NĂM HỌC: 2022 – 2023

Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)

Ngày giao lưu: 22/03/2023

( Đề gồm 01 trang)

Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI 6, 7, 8

NĂM HỌC: 2022 – 2023

Môn: Toán 8 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)

Ngày giao lưu: 22/03/2023

Bài Nội dung Điểm

Bài 1: (4 điểm)

a) Với 1 x ≠ ta có

2 2

2 2 2 4 1 1 8 : ( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 x x x x x x P x x x x x x x x    − + + + + − + = +    − + + − + + + +   

2 2 2 2

2 2 2 2 4 1 1 8 2 3 9 : : ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 1 x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x    − + + + + + − + + − + = =    − + + + + − + + + +   

2

2 2 2 ( 3)( 1) 1 3 . ( 1)( 1) 9 9 x x x x x x x x x x + − + + + = = − + + + +

Vậy 1 x ≠ thì 2 3 9 x P x + = +

0,5

0,75 0,75

2)Ta có : x2 – 3x + 2 = 0

⇔ ( x-1)(x-2) = 0 suy ra x = 2 hoặc x= 1 (loại) Thay x=2 vào biểu thức P ta được 2 2 3 5 2 9 13 P + = = + .

Kết luận với x= 2 thì 5 13 P =

0,5 0,5

c) Ta có : P nhận giá trị nguyên ⇔ 2 3 9 x x + + nguyên khi đó

2 ( 3) ( 9) x x + +  2 ( 3)( 3) ( 9) x x x ⇒ − + + 

2 2 2 2 2 ( 9) ( 9) ( 9 18) ( 9) 18 ( 9) x x x x x ⇒ − + ⇒ + − + ⇒ +    suy ra 2 9 x + là ước của 18 Mà 2 9 9 0 x + ≥ > nên { } 2 9 9;18 x + ∈ nên 2 0;9 x = ta có x = 0 ;3 ;-3 Thử lại ta được x = -3 thỏa mãn bài toán và kết luận….

0,25

0,25 0,25 0,25

Bài 2 4điểm

1) ĐKXĐ: x≠ -1;-4;-6;3

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) 0 2 4 0 8 4

3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 4 3 1 3 3 3 3 1 3 4 1 1 6 1 3 1 3 4 6 1 4 1 4 1 1 1

6 3 9 3 4 6 4 2 4 1 3

2

= − ⇔ = − ⇒

− + + + − + − + = − + − ⇔

− + = + ⇔

      + − − + =       + − + +       + − + ⇔

+ − + = + + + + + ⇔

x x x x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

⇔ x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện) Vậy tập nghiệm của phương trình: S = { } 0;2

0.25 0.25

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25