Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Lang Chánh - Thanh Hóa

UBND HUYỆN LANG CHÁNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023

Môn:Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang; gồm 05 câu)

Bài 1.(4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức:

𝐴𝐴= ቀ 2𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−𝑥𝑥

𝑥𝑥3−1 − 𝑥𝑥2+𝑥𝑥

𝑥𝑥2−1ቁ: 2𝑥𝑥2+𝑥𝑥−1

𝑥𝑥2−1 + 𝑥𝑥

2𝑥𝑥−1. với 𝑥𝑥≠±1, 𝑥𝑥≠ 1

2

2. Cho ba số , , x y z khác 0 và thoả mãn:

z y x z y x + + = + + 1 1 1 1

Tính giá trị biểu thức ( )( )( ) 2023 2023 2023 2023 2023 2023 P x y y z z x = + + +

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình

 

2 2 2 9x x 40 x 3    2. Tìm x và y thỏa mãn đồng thời cả hai hệ thức sau:

x3 + y3 = 9 (1) và x2 + 2y2 = x + 4y (2) Bài 3. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 2 2 3 . x y xy + = −

2. Cho ,x y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức ( ) ( ) 2 2 3 1 2 1 x y − = −

Chứng minh rằng

2 2 x y − chia hết cho 40 Bài 4. (6,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Bx vuông góc với AB tại B. Trên tia Bx lấy điểm C (C khác B). Kẻ BH vuông góc với AC (điểm H thuộc AC). Gọi M là trung điểm của AB.

1. Chứng minh rằng: HA.HC = HB2 2. Kẻ HD vuông góc với BC (D thuộc BC). Gọi I là giao điểm của AD và BH. Chứng minh rằng ba điểm C, I,M thẳng hàng.

3. Giả sử AB cố định, điểm C thay đổi trên tia Bx. Biết 1 . . = BM AB HA CH IC MI

Tìm vị trí của điểm C trên tia Bx sao cho diện tích tam giác ABI lớn nhất.

Bài 5. (2,0 điểm)

Cho các số , , a b c không âm thỏa mãn 3 a b c + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 P a b c = − + − + −

HẾT! Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: .................................................. SBD............

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Hướng dẫn chấm Điểm 1 2đ 1. - Với 1 1, 2 x x ≠± ≠ , biểu thức A xác định nên ta có :

  + − + + − = − +     − − − −  

3 2 2 2

3 2 2 2 2 1 : 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x A

( )   + − + −   = − +   − − − + −  

2 2 2

3 2 2 2 1 1 . 2 1 1 1 2 1

x x x x x x x x x x x x

( ) − + = − + − − + −

2 2

3 2 1

2 1 1 2 1

x x x x x x x x x

− + + = − + + − − − + + 2 ( 1)( 1) ( 1) ( 1)(2 1) 2 1 ( 1)( 1) x x x x x x x x x x x x

+ = − + − − + + 2 ( 1) (2 1) 2 1 ( 1) x x x x x x x x

+ = + +

2

2 1 x x x x

Vậy : + = + +

2

2 1 x x A x x

( với 1 1, 2 x x ≠± ≠ )

0,5

0,5

0,5

0,5

2đ 2. Ta có: ( )( ) 1 1 1 1 yz xz xy x y z xyz x y z x y z + + = ⇔ + + + + = + +

2 2 2 2 2 2 xyz x z x y y z xyz y x z y z x xyz xyz ⇔ + + + + + + + + =

2 2 2 2 2 2 2 0 x y x z y x y z z y z x xyz ⇔ + + + + + + =

( )( )( ) 0 x y x z y z ⇔ + + + =

2023 2023 2023 2023

2023 2023 2023 2023

2023 2023 2023 2023

0

0

0

x y x y x y y z y z y z z x z x z x

  = − + = = −     ⇔ = −⇔ = − ⇔ + =      = − = − + =   

( )( )( ) 2023 2023 2023 2023 2023 2023 0 P x y y z z x ⇒ = + + + = .

0,5

0,5

0,5

0,5 2 1. ĐKXĐ: x ≠ 3.

 

2 2 2 9 40 3

x x x   

0 40 3 .6 3 0 40 3 6 3 3 2 2 2 2 2 = − − −  

  

 − ⇔ = − − −       − + ⇔ x x x x x x x x x

Đặt

2

3 x t x   ta có phương trình t2 – 6t – 40 =0  ( ) 10 ( 4) 0 t t − + =



 − =

= ⇔ 4

10

t

t

0 30 10 10 3 10 2 2 = + − ⇔ = − ⇔ = x x x x t vô nghiệm;

0,25

0,5

0,25

0,25

0,5