Đề Olympic 27 tháng 04 Toán 8 năm 2022 - 2023 sở GDĐT Bà Rịa - Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 27 THÁNG 4 LỚP 8 TỈNH BÀ RỊA - VŨNG TÀU NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài thi: 120 phút Ngày thi: 23/3/2023 Câu 1 (3,0 điểm).

1) Chứng minh ( )( ) 1 2 1 n n n + + chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

2) Phân tích đa thức 3 2 2 6 5 x x y xy + + thành nhân tử.

Câu 2 (3,0 điểm).

1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 2020 n − chia hết cho 45 n − .

2) Cho x và y là các số hữu tỉ khác 1 và thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 x y x y − − + = − − .

Chứng minh 2 2 B x y xy = + − là bình phương của một số hữu tỉ.

Câu 3 (3,0 điểm).

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn 2 2 2 2 5. x x y y + = + +

2) Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn 1 abc = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 P

a b b c c a = + +  + + + + + + + + +

Câu 4 (4,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức

2 2

2 3 2 2 2 2 1 1 8 4 2 2 8 2 x x A x x x x x x x   −   = −  + −    − + − +    

(với 0; 2 x x   ).

2) Giải phương trình

2

2 2 2 5 7 6 3 0 1 3 5 x x x x

+ + − =  + + +

Câu 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A ( ) AB AC  có đường cao AH và đường phân giác AM . Kẻ ME vuông góc với AB tại E và MF vuông góc với AC tại F . Gọi K là giao điểm của AH và

. ME Tia BK cắt AC tại L .

1) Chứng minh . . CM CH CF CA = và HF là tia phân giác của góc AHC . 2) Chứng minh tam giác BML cân.

3) Chứng minh BE HB CF HC = 

Câu 6 (2,0 điểm).

Cho góc xOy nhọn và điểm A cố định nằm trong góc xOy . Đường thẳng d di động đi qua A

và cắt Ox , Oy theo thứ tự tại , B C . Tìm điều kiện của đường thẳng d đối với OA để 1 1 AB AC + đạt

giá trị lớn nhất. -----------HẾT---------- Họ và tên thí sinh:……………………………… Chữ ký CBCT số 1:………………………… Số báo danh:…………………………………….

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU

KỲ THI OLYMPIC 27 THÁNG 4 LỚP 8

NĂM HỌC 2022 - 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 04 trang ) ---------------------------------------------- Câu 1 (3,0 điểm). 1) Chứng minh ( )( ) 1 2 1 n n n + + chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

2) Phân tích đa thức 3 2 2 6 5 x x y xy + + thành nhân tử. Câu 1 Nội dung Điểm

1.1 (1,5 đ)

( )( ) ( )( ) 1 2 1 1 1 2 n n n n n n n = + + + −+ + 0,5

( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 n n n n n n = + + − + + 0,5

Mà ( )( ) 1 1 n n n + − và ( )( ) 1 2 n n n + + là tích 3 số nguyên liên tiếp nên đều chia

hết cho 6

0,25

Vậy ( )( ) 1 2 1 n n n + + chia hết cho 6. 0,25

1.2 (1,5 đ) ( ) 2 2 2 3 2 6 5 6 5 x x xy y x x y xy = + + + + 0,5

( ) ( ) 5 5 x x x y y x y = + + +     0,5

( )( ) 5 x x y x y = + + 0,5

Câu 2 (3,0 điểm). 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 2 2020 n − chia hết cho 45 n− .

2) Cho x và y là các số hữu tỉ khác 1 và thỏa mãn 1 2 1 2 1 1 1 x y x y − − + = − − .

Chứng minh 2 2 B x y xy = + − là bình phương của một số hữu tỉ. Câu 2 Nội dung Điểm

2.1 (1,5 đ)

( )( ) 2 2 2020 2025 5 45 45 5 n n n n − = − + = − + + 0,5

Do đó ( ) ( ) ( ) 2 2020 45 5 45 n n n − −  − 0,5

    45 1; 5; 1; 5 46; 50; 44; 40 n n  −  − −   0,5

2.2 (1,5 đ)

( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x y x y y x x y x y − − + =  − − + − − = − − − − 0,25

3 2( ) 1 xy x y  = + − 0,5

( )

2 2 2 3 B x y xy x y xy = + − = + − 0,25

( )

2 2( ) 1 x y x y + = − + + 0,25

( )

2 1 x y + − = 0,25

Câu 3 (3,0 điểm).

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn 2 2 2 2 5. x x y y + = + +

2) Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn 1 abc = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 1 P

a b b c c a = + +  + + + + + + + + +