Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Gia Viễn - Ninh Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN GIA VIỄN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2022-2023

Môn: Toán Ngày thi: 30/3/2023 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên thí sinh :..............................................................Số báo danh ....................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị thứ nhất: ............................................................................................

Giám thị thứ hai:............................................................................................... Câu 1 (4,5 điểm)

Cho biểu thức

2 2

2 2 6 1 2 6 A : 2 4 2 2 2 x x x x x x x x

                                với 2. x ≠±

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A nhận giá trị âm. c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2 (4,0 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: ( ) 2 2 2 2 . − − − + − x y z y yz z b) Cho 3 số nguyên dương 1 2 3 ; ; a a a có tổng bằng 2023 2022 . Chứng minh rằng:

3 3 3 1 2 3 a a a + + chia hết cho 3. Câu 3 (4,5 điểm)

a) Giải các phương trình sau: 2 2 2 1 1 1 3. 7 12 9 20 11 30 2 − + + = + + + + + + x x x x x x

b) Tính giá trị của biểu thức: 5 4 B . 3 5 y y x x x − = + − − Biết 2 6. x y − =

c) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn:

2 2 5 4 2023. + + = x y xy

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhọn), đường cao AH cắt tia phân giác BD tại điểm I. Gọi M là hình chiếu của điểm H trên cạnh AC, K là trung điểm của HM.

a) Chứng minh . AH HM HC CM =

b) Chứng minh AK vuông góc với BM. c) Biết AI = 5cm, HI = 4cm. Tính độ dài cạnh BC. Câu 5 (2,0 điểm)

a) Xét hình chữ nhật kích thước 3cm x 4 cm. Chứng minh rằng với 7 điểm bất kì nằm trong hình chữ nhật, luôn có thể chọn ra hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 3.

b) Cho hai số thực , y x thỏa mãn 1; y > 1 x > − và y = 1. x + Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

2 2 1 1 P 1 1 . 1 1 x y x y

                           

--------Hết.--------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA VIỄN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 THCS

NĂM HỌC 2022-2023

Môn: Toán Ngày thi 30/3/2023 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm

Câu 1 4,5 điểm)

a) (2,0 điểm)

2 2

2 2 6 1 2 6 A : 2 4 2 2 2 x x x x x x x x

                                với 2. x ≠±

     

    

2 2 2 2 2 2 6 2 4 6 A : 2 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x x x x x x x

                                       

0,5

  

2 2 2 A : 2 2 2 x x x x    

0,75

  

2 2 2 2 A . 2 2 2 2 x x x x x x       0,75

b) (1,5 điểm)

Ta có:

2 A 2 x x   ( 2) x ≠± nhận giá trị âm thì A < 0 nên

2 0 2 x x   0,5

2 0 ⇔ + < x (vì x2 ≥ 0 với mọi 2 x ≠± ) 2 ⇔ < − x (thỏa mãn đk) 0,75 Vậy 2 < − x thì A nhận giá trị âm. 0,25 c) (1,5 điểm)

Ta có:

2 2 4 4 4 A 2 2 2 2 2 x x x x x x x           với , 2. x Z x ∈ ≠±

Để A nhận giá trị là số nguyên thì

4 2 Z x   2 x   Ư(4)

0,5

0,25

    2 1; 1;2; 2;4; 4 1; 3;0; 4;2; 6 x x           0,5

{ } , 2 1; 3;0; 4; 6 x Z x x ∈ ≠± ⇒ ∈−− − − Vậy { } 1; 3;0; 4; 6 x ∈−− − − thì A nhận giá trị là số nguyên.

0,25

Câu 2 (4,0 điểm)

a) (2,0 điểm)

( ) 2 2 2 2 − − − + − x y z y yz z

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 = − − − − + = − − − − x y z y yz z x y z y z

1,0

( )( ) = − − + − − − − + x y z y z x y z y z 0,5

( )( ) 2 2 = − − x z x y 0,5

b) (2,0 điểm)

Ta có: 2023 2022 3;  2023 1 2 3 2022 a a a + + = nên 1 2 3 3. a a a + +  0,5

Với n ∈ thì ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 1 1 3 3 n n n n n n n n n − = − = − + ⇒ −  

(vì n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho 3).

0,5