Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 trường THCS Ba Đồn - Quảng Bình

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS BA ĐỒN MÔN TOÁN LỚP 8-NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ RA:

Câu 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức

2 1 1 1 x x x x x x x P x x x x x x + − − + − = + + − − với 0; 1 x x  

a) Rút gọn biểu thức P

b) Chứng minh rằng 4 P  với 0; 1 x x  .

Câu 2 (2,0 điểm):

a) Cho ba số , , 0 a b c  thỏa mãn a b c b a c b c a a c b + + = + +

Tính giá trị của biểu thức ( )( )( )( )

2022 2 3 2023 A a b b c c a a b c = − − − + + +

b) Giải phương trình:

2 2 1 2 4 1 3. 0 2 3 3 x x x x x x             − + − − + = + − −

Câu 3 (1,5 điểm): Cho x,y là các số dương thỏa mãn điều kiện 6 x y +  . Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức 6 8 3 2 M x y x y = + + +

Câu 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt

nhau tại H.

a) Chứng minh CH.CE = CD.CA

b) Kẻ EK AC ⊥ tại K, kẻ DI EC ⊥ tại I. Chứng minh AH // IK

c) Chứng minh 1 4 S S EIK ABC   

Câu 5 (1,0 điểm): Chứng minh tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn

là một số chính phương. Ghi chú:

- Học sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ BA ĐỒN HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS BA ĐỒN MÔN TOÁN LỚP 8-NĂM HỌC 2022-2023

Câu Đáp án Điểm Câu 1 a)

2 1 1 1 x x x x x x x P x x x x x x + − − + − = + + − −

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

2 1

1

1

1

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x

x

x

x

x

x

− + + − + = + −

− −

− + − + + + = + −

− +

+ + − + = + −

+ + + + − + − =

+ + =

+

+

+

0,25 0,25 0,25 0,25

b) Ta có 1 1 2 2 . 2 4 P x x x x = + +  + = (Theo BĐT Côsi)

1 4 1 P x x x =  =  = (loại do 1 x )

Vậy 4 0, 1. P x x   

0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2 a) Với , , 0 a b c  , ta có a b c b a c b c a a c b + + = + +

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )( )( ) ( )( )( )

2

0

0

1 0

0

0

0

a c a c b b b b c a c a a c a c b a c a c b ac ac a c b a c b ac ac

a c ac ab bc b

a c c b a b

a b b c c a

 − − + + − =

+ − − −  − + =

+    − − + =    

 − − − + =

 − − − =

 − − − =

( )( )( )( )

2022 2 3 2023 A a b b c c a a b c = − − − + + + = 0 + 2023 = 2023

0,25 0,25 0,25 0,25

b)

2 2 1 2 4 1 3. 0 2 3 3 x x x x x x             − + − − + = + − − ĐKXĐ: 2; 3 x x − 

2 2 1 2 1 4. 3. 0 2 3 3 x x x x x x             − + −  − + = + − − (1)

Đặt 1 2 ; 2 3 x x a b x x − + = = + −

1 3 x ab x

−  = −

Phương trình (1) trở thành 2 2 4 3a 0 a b b − + =

( )( )

2 2 2 3a 3 0

4 0

4

a b b b

a b a b

a b

a b

 − + − =

 − + =

=  = − 

+ Trường hợp 1 2 2 3 x x a b x x − + =  = + −

( )( ) ( )

2 1 3 2

8 1 0 1 ( ) 8

x x x

x

x TM

 − − = +

 + =

 = −

+ Trường hợp ( ) 4 2 1 4 2 3 x x a b x x − + − = −  = + −

( )( ) ( )

2

2

2

1 3 4 2

5 12 19 0

6 59 5 0 ( ) 5 5

x x x

x x

x PTVN

 − − = − +

 + + =

   + + =    

Vậy phưởng trình đã cho có một nghiệm 1 8 x = −

0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3

6 8 3 2 M x y x y = + + +

6 8 12 16 2 3 2 3 3 2M x y x y x y x y x y

Từ giả thiết và theo BĐT Cô – si, ta có:

3 3.6 18

12 12 3 2 3 . 12

16 16 2 . 8

x y

x x x x

y y y y

Do đó, 2 18 12 8 38 19 M M Vậy minM = 19. Dấu “=” xảy ra khi x = 2; y = 4.

0,25 0,25 0,5 0,5