Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT thành phố Bắc Giang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ BẮC GIANG

(Đề thi gồm có: 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8

Ngày thi: 08/4/2023 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 5 2 5 2 : 25 5 2 10 5 x x x x P x x x x x x − −   = + +   − + + −  

với 5 0; 5; . 2 x x x ≠ ≠± ≠

2. Cho các số thực , , x y z thoả mãn 0 xyz ≠và 3 3 3 3 x y z xyz + + = . Tính giá trị của biểu thức:

1 1 1 . x y z M y z x     = + + +         

Câu 2. (6,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: 2 2 2 2 2 2 (2 2023) 4( 5 2022) 4(2 2023)( 5 2022). x x x x x x x x + − + − − = + − − −

2. Tìm số nguyên n để 2 6 14 n n + + là số chính phương. 3. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2 8 2 . x y x y xy − − =

Câu 3. (3,0 điểm) 1. Đa thức ( ) Q x nếu chia cho 1 x − được số dư bằng 4, nếu chia cho 3 x − được số dư bằng 14.

Tìm đa thức dư của phép chia ( ) Q x cho ( )( ) 1 3 . x x − −

2. Chứng minh rằng trong 14 số tự nhiên bất kỳ có ba chữ số, luôn tồn tại hai số sao cho khi ghép chúng lại cạnh nhau để được một số có sáu chữ số chia hết cho 13.

Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại ( ), A AB AC < phân giác trong AD ( ), D BC ∈ gọi M là trung

điểm của đoạn thẳng , BC trên tia đối của tia DA lấy điểm K sao cho  0 45 , KBC = đường thẳng qua A vuông góc với AD cắt KM tại . N

a) Chứng minh rằng BDK ∆ ADC ∆ và tam giác KBC vuông cân.

b) Phân giác của  ABC cắt AD tại .I Gọi E là giao điểm của AC và . MN Chứng minh rằng:  0 45 ENC = và 2 . . KI KM KN =

2. Cho tam giác ABC có trung tuyến ( ) AD D BC ∈ . Trên đoạn thẳng AD lấy điểm K sao cho

3 AK KD = . Gọi E là giao điểm của đường thẳng BK và . AC Tính tỉ số diện tích tam giác ABE và diện tích

tam giác . BCE Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số thực , 0 x y > thoả mãn 3. x y + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 16 9 12 25. 2 Q x y x y x y = + − − + + +

--------------------------------HẾT-------------------------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:................................................. Số báo danh:…......…

Giám thị 1 (Họ tên và ký)......................................................................... Giám thị 2 (Họ tên và ký)..........................................................................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ BẮC GIANG

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN THI: TOÁN 8

Ngày thi: 08/4/2023 (Bản hướng dẫn chấm có 07 trang)

Câu 1: (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức : 2 2 2 5 2 5 2 : 25 5 2 10 5 x x x x P x x x x x x − −   = + +   − + + −  

với 5 0; 5; 2 x x x ≠ ≠± ≠

2) Cho các số thực , , x y z thoả mãn 0 xyz ≠ và 3 3 3 3 x y z xyz + + = . Tính giá trị của biểu thức

1 1 1 x y z M y z x     = + + +         

Câu 1 Nội dung 4,0 điểm

1.1.

(2 điểm)

Với 5 0; 5; 2 x x x ≠ ≠± ≠ ta có:

( )( ) ( ) ( ) 5 2 5 2 : 5 5 5 2 5 5 x x x x P x x x x x x x

  − − = − +   + − + + −  

0.25

( ) ( )( ) ( )

2 2 5 2 5 2 : 5 5 2 5 5 x x x x x x x x x x − − − = + + − + − 0.5

( )( ) ( )( )

( ) 5 5 2 5 2 . 5 5 2 5 5 x x x x x x x x x x x x − + + − + = + − + − − 0.25

( ) ( )( )

( ) 5. 2 5 2 5 2 . 5 5 2 5 5 x x x x x x x x x − + = + − + − − 0.25

10 2 5 5 x x x = − − − 0.25

( ) 2 5 10 2 2 5 5 x x x x − − = = = − − − 0.25

Vậy 2 P = − với 5 0; 5; 2 x x x ≠ ≠± ≠ 0.25

1.2.

Ta có: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 x y z xyz x y xy x y z xyz + + = ⇔ + − + + = 0.25

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3

2 2

3 3 3 0

3 0

x y z xyz x y z xy x y xyz

x y z x y x y z z xy x y z

  + + = ⇔ + + − + − =     ⇔ + + + − + + − + + =  

0.25

( )( ) 2 2 2

2 2 2

2 3 0

0

0

x y z x y xy xz yz z xy

x y z

x y z xy yz zx

⇔ + + + + − − + − =

+ + =  ⇔ + + − − − = 

0.25

Trường hợp 1: 0 x y z + + = học sinh tính được 1 M = −

0.5

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC