Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT thành phố Vinh - Nghệ An

1

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO THÀNH PHỐ VINH

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022- 2023

(Đề thi gồm có 01 trang)

Môn thi: Toán lớp 8

Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

a, Cho 2 2 3 4 a b ab   và 3 2 0 a b   . Hãy tính giá trị biểu thức 2

2 3 5 ab A a ab  

b, Cho

2

2 3 2 2 3 8 3 1 1 :( ) 5 6 4 8 3 12 2 x x x P x x x x x x         

Tìm các giá trị x nguyên dương để 1 2 x P  

Câu 2. (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a, 4 4 4 (1 ) (2 ) (3 2 ) x x x     

b, 2 2 2 1 6 2 5 ( 2) 12 35 4 3 10 24 x x x x x x x x x x x x              

Câu 3. (3,0 điểm) a, Cho các số nguyên , , a b c thoả mãn 1 ab bc ca   . Chứng minh rằng

2 2 2 (1 )(1 )(1 ) A a b c     là số chính phương b, Gọi ( ) S n là tổng các chữ số của số nguyên dương n khi biểu diễn nó trong hệ thập phân. Biết rằng với bất kỳ số nguyên dương n ta có 0 ( ) S n n   . Tìm số nguyên dương n thỏa mãn

2 ( ) 2023 7 S n n n    Câu 4. (3,0 điểm) a, Tìm các hệ số , , a b c để đa thức 3 2 ( ) f x x ax bx c     chia hết cho đa thức 2 x  và chia cho đa thức

2 1 x  thì dư 3 b, Cho , , , , a b c d elà các số thực dương thỏa mãn 4 a b c d e     . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức ( )( )( ) a b c d a b c a b P abcde       

Câu 5. (7,0 điểm) 1, Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( ) AB AC  , trung tuyến AM . Kẻ BE vuông

góc với AM . Trên đoạn MC lấy điểm F sao cho ˆ ˆ MFA MEC  . Gọi , N I lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng , AF EC ; AF cắt CE ở O. a, Chứng minh rằng OEF  đồng dạng với OAC 

b, Biết tỷ số 1

2 AM

BC  , tính tỷ số MN

MI

c, Chứng minh rằng NB NC 

2, Cho hình thang cân ABCD ( / / ) AB CD . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên tia đối của tia DAlấy điểm E , tia EN cắt đoạn thẳng AC tại F . Chứng minh rằng MN là tia phân giác của góc EMF .

........................ Hết ..........................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

2

HƯỚNG DẪN CHẤM – BIỂU ĐIỂM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1. (4,0 điểm)

a, Cho 2 2 3 4 a b ab   và 3 2 0 a b   . Hãy tính giá trị biểu thức 2

2 3 5 ab A a ab  

b, Cho

2

2 3 2 2 3 8 3 1 1 :( ) 5 6 4 8 3 12 2 x x x P x x x x x x         

Tìm các giá trị x nguyên dương để 1 2 x P  

1.a 2,0đ

2 2 2 2 3 4 3 4 0 a b ab a ab b       0,5 (3 )( ) 0 a b a b     0,25 3 0 0 a b a b      

(1)

0,25

Do 3 2 0 3 0 a b a b      0,25 nên (1) 0 a b a b      0,25

Thay vào biểu thức A ta có

2

2 2 2 2 1 3 5 2 aa a A a aa a      0,5

1.b 2,0đ

ĐKXĐ: 2; 3;0 x   0,25

2

2 3 2 2 3 8 3 1 1 :( ) 5 6 4 8 3 12 2 x x x P x x x x x x         

2

2 3 8 3 1 1 : ( 2)( 3) 4 ( 2) 3( 2)( 2) 2 x x x P x x x x x x x                

0,25

1 2 1 1 : ( 2) ( 2) ( 2)( 2) 2 x P x x x x x              

0,25

1 2( 2) ( 2) 1 : ( 2) ( 2)( 2) x x x P x x x        

1 6 1 : ( 2) ( 2)( 2) P x x x    

0,25

1 ( 2)( 2) 1 . ( 2) 6 x x P x

   

2 4 1 6 6 x x P    

0,25

1 4 1 2 6 2 x x x P      

4 3( 1) x x    

0,25

2 7 x   7 2 x  

0,25

Vậy 7 2 x Z x        

0,25

Câu 2. (3,0 điểm) Giải các phương trình sau: a, 4 4 4 (1 ) (2 ) (3 2 ) x x x     