Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2022 - 2023 phòng GDĐT Vĩnh Bảo - Hải Phòng

UBND HUYỆN VĨNH BẢO

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO (Đề có 01 trang)

ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2022–2023

MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1. (3,0 điểm)

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ( x2 + 2x)2 + 2( x2 +2x) + 1

b) Xác định đa thức ( ) P x , biết ( ) P x chia cho đa thức 1 + x dư 4, ( ) P x chia cho đa thức 2 + x dư 6. ( ) P x chia cho đa thức 2 3 2 + + x x được thương là 3 + x và còn dư.

c) Cho , , x y z đôi một khác nhau và 1 1 1 0 + + = x y z .

Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 = + + + + + yz xz xy A x yz y xz z xy .

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình sau: ( 7)( 5)( 4)( 2) 72 x x x x − − − − = .

b) Cho ba số dương , , a b c thỏa mãn 1 + + = a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 1 1 1 4 16 = + + M a b c

c) Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn 5(a3 + b3) = 13(c3 + d3). Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 6.

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ BH vuông góc với AC (H ∈ AC). Gọi M là trung điểm của AH, K là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: BM ⊥ MK.

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn AB<AC, ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a/ Chứng minh:Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC và FC là tia phân giác của góc EFD.

b/ Hai đường thẳng EF và CB cắt nhau tại M. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AM tại I; cắt AD tại K. Chứng minh rằng: B là trung điểm của IK.

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho 2023 số tự nhiên bất kỳ: a1 ; a2 ;... ; a2023. Chứng minh rằng tồn tại một số hoặc tổng một số các số trong dãy trên chia hết cho 2023.

----------- Hết -----------

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022 – 2023

MÔN: TOÁN 8 Câu Ý - Nội dung Điểm 1

a) Ta có: ( x2 + 2x)2 + 2( x2 +2x) + 1

=(x2+2x +1)2 =(x+1)4

0,5

0,5

b) Do đa thức chia 2 3 2 + + x x có bậc 2 nên đa thức dư có dạng : ax+b với a, b thuộc R

( )( ) 2 ( ) 3 2 3 = + + + + + P x x x x ax b

Theo định lí Bơzu ( ) P x chia cho 1 + x dư 4 ( ) ( ) 1 4 4 1 ⇔ − = ⇔−+ = P a b

( ) P x chia cho 2 + x dư 6 ( ) ( ) 2 6 2 6 2 ⇔ − = ⇔− + = P a b

Từ ( )1 4 2 ⇔ = + b thay vào ( ) 2 ta được 2 4 6 2 − + + = ⇔ = − a a a Thay 2 = − a ta được 2 = b ( )( ) 2 3 2 ( ) 3 2 3 2 2 6 9 8 = + + + − + = + + + P x x x x x x x x

Vậy đa thức ( ) 3 2 6 9 8 = + + + P x x x x

0,25

0,25

0,25

0,25

c/ Đặt A= 2 2 2 2 2 2 yz xz xy x yz y xz z xy + + + + +

Ta có: xy yz zx 0 + + = ⇒ xy xz yz; xz yz xy; xy yz xz − − = − − = − − =

Khi đó A= 2 2 2 2 2 2 yz xz xy x yz y xz z xy + + + + +

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 1 ( )( )( )

yz xz xy x y x z x y y z x z y z x y x z y z x y x z y z

= − + − − − − − − − − − = = − − −

0,25

0,25 0,25 0,25

2

a)

2 2 ( 7)( 5)( 4)( 2) 72

( 9 14)( 9 20) 72

x x x x

x x x x

− − − − =

⇔ − + − + =

Đặt

2 9 17 x x t − + = Phương trình thành:

2

( 3)( 3) 72

9 81 9

t t

t t t

− + =

=  ⇔ = ⇔= − 

0,25

+) Với 9 t = ta có:

2

2

9 17 9

1 9 8 0 8

x x

x x x x

− + =

=  ⇔ − + = ⇔= 

+) Với 9 t = − ta có:

2

2 9 17 9

9 26 0

x x

x x

− + = −

⇔ − + =

(Vô nghiệm vì

2 2 9 23 9 26 0 2 4 x x x   − + = − + >    

với mọi x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là {1;8} S =

0,25

0,25

b) ( ) 1 1 1 1 1 1 4 16 4 16   = + + = + + + +     M a b c a b c a b c (do 1 + + = a b c )

21 4 16 4 16 16 = + + + + + + a b a c c b M b a c a b c

Áp dụng BĐT Cô si với hai số dương 4 a b và b a ta được:

1 4 + ≥ a b b a dấu bằng xảy ra 2 ⇔ = a b

Tương tự:

1 16 2 + ≥ a c c a dấu bằng xảy ra 4 ⇔ = a c

1 4 16 4 + ≥ c b b c dấu bằng xảy ra 2 = b c

Khi đó:

21 1 1 21 1 4 16 4 16 16 2 4 16 21 49 4 16 4 16 16 16

= + + + + + + ≥+ + +

⇒ + + + + + + ≥

a b a c c b M b a c a b c a b a c c b b a c a b c

Dấu “=” xảy ra

1 2 2 1 4 4 2 2

=  =     ⇔ = ⇔ =     =  =  

b a a b

a c c a

b c b c

0,25

0,25