Đề HSG cấp huyện Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Nam Trực - Nam Định

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO

HUYỆN NAM TRỰC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn : Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1. ( 5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2 2 5 4 x xy y x y     .

b) 3 2 9 6 16 x x x    .

2) Cho các số nguyên , , a b c thỏa mãn 2023 ab bc ca    . Chứng minh rằng     2 2 2 2023 2023 2023 A a b c     là số chính phương.

Câu 2. (5 điểm)

1) Tìm x biết: a) 2 4 3 0 x x    b)    2 2 4 10 72 x x    .

2) Tìm x, y nguyên thoả mãn: 2 2 3 0 xy xy x y    . Câu 3. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( ) AB AC  có , đường cao AH và BK cắt nhau tại D . Gọi M là trung điểm của AB , P là điểm đối xứng với H qua M .

a) Chứng minh AHBP là hình vuông.

b) Chứng minh 2 HP MK  và BHD AHC   .

c) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AH tại D , qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại C , hai đường thẳng này cắt nhau tại Q . Chứng minh

, , P K Q thẳng hàng.

Câu 4. (2,0 điểm)

1) Tìm đa thức dư khi chia đa thức ( ) P x cho đa thức    2 1 1 x x   biết đa thức ( ) P x chia cho 1 x  được dư là 4 và khi chia cho

2 1 x  được dư là 3 5 x .

2) Cho ,x y là các số thực thỏa mãn 1 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    2 2 4 4 8 C x y y x xy     .

Câu 5. (1,0 điểm)

Lấy 2020 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng với 4 đỉnh ta

được 2024 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Biết diện tích của tứ

giác ban đầu là 1 2 cm . Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 đỉnh lấy từ

2024 điểm đã cho có diện tích không vượt quá 2 1 4042 cm .

---------Hết---------

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn : Toán 8

Câu Nội dung Điểm

Câu

1

Câu 1. ( 5 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2 2 5 4 x xy y x y     .

b) 3 2 9 6 16 x x x    .

2) Cho các số nguyên , , a b c thỏa mãn 2023 ab bc ca    . Chứng minh rằng nếu     2 2 2 2023 2023 2023 A a b c     là số chính phương.

5.0

1a       

2 2

2 2 5 4

4 4

4 ( )

4 1

x xy y x y

x xy xy y x y

x x y y x y x y

x y x y

   

     

     

   

0.5

0.5

0.5

1b

     

  

  

   

3 2

3 2 2

2

2

2

9 6 16

8 8 2 16

8 8 2 8

8 2

8 2 2

8 2 1

x x x

x x x x x

x x x x x

x x x

x x x x

x x x

  

     

     

   

    

   

1.0

1.0

2

Ta có:

2023 ab bc ca   

       2 2 2023 a a ab bc ca a a b c b a a c a b             

Chứng minh tương tự ta có:

      2 2 2023 ; 2023 b b a b c c c a c b        

Khi đó:

   

   

2 2 2

2 2023 2023 2023 A a b c

a b b c c a

   

       

Vì , , a b c là các số nguyên nên ; ; a b b c c a    là các số nguyên

Do vậy    

2 a b b c c a        là số chính phương hay A là số chính

0.5

0.5

0.5

phương

Vậy     2 2 2 2023 2023 2023 A a b c     là số chính phương với các số

nguyên , , a b c thỏa mãn 2023 ab bc ca    .

Câu

2

Câu 2. (5 điểm)

1) Tìm x biết: a) 2 4 3 0 x x    b)    2 2 4 10 72 x x    .

2) Tìm x , y nguyên thoả mãn 2 2 3 0 xy xy x y    .

5

1

a)

      

2

2 4 3 0

3 3 0

1 3 1 0

1 3 0

1 0

3 0

1

3

x x

x x x

x x x

x x

x

x

x

x

  

    

    

   

    

    

Vậy   1;3 x 

b)    2 2 4 10 72 x x   

Đặt 2 7 x y   . Khi đó ta có:

  

2

2

3 3 72

9 72

81

9

9

y y

y

y

y

y

  

  

 

    

Với 2 2 9 7 9 16 4 y x x x        

Với 2 2 9 7 9 2 y x x     (Vô lí vì 2 0 x  với mọi x )

Vậy   4;4 x  .

0.75

0.5

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

2

 

 

   

  

2

2

2

2

2 3 0

2 1 3 0

1 3 0

1 3 1 3

1 3 3

xy xy x y

x y y y

x y y

x y y

y xy x

   

    

   

    

    

Vì ; 1 ; 3 x y y xy x      mà     3 1. 3 3. 1    

Ta có bảng giá trị sau

0.5