Đề kiểm tra HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Ninh Giang - Hải Dương

UBND HUYỆN NINH GIANG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 – 2024

MÔN: TOÁN – LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề bài gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm):

1) Rút gọn biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

( 0; 1 x x ≠ ≠± )

2) Cho ( ) 2 2 9 4 20 ; 3 2 0 x y xy x y + = > > . Chứng minh 6 4 1 3 2 x y x y − = +

Câu 2 (2,0 điểm): 1) Giải phương trình: ( )( )( )( ) 7 5 4 2 72 x x x x − − − − =

2) Cho đa thức 2 2 ( ) ( 2)( 1) ax f x x x x bx c = − − + + + + . Biết f(x) chia x – 2 dư 11, chia x2 – x + 1 dư 3x + 2. Tìm a, b, c.

Câu 3 (2,0 điểm):

1) Tìm cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 x y xy y + + + = .

2) Tìm số nguyên dương n sao cho ( )( ) 2 3 4 14 7 A n n n = + + + là số chính

phương. Câu 4 (3,0 điểm):

1) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF, cắt nhau tại H ( , ; D BC E AC F AB ∈ ∈ ∈ ).

a) Chứng minh AF.AB = AE.AC. b) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB tại M, cắt CF tại N. Chứng

minh   FEH DEH = và DM = DN. 2) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao BM, CN cắt nhau tại I

( ; ). M AC N AB ∈ ∈ Gọi E là trung điểm BC, IE cắt MN tại F. Chứng minh

2

2 FM IM FN IN =

Câu 5 (1,0 điểm): Cho hai số a, b ≠0 thỏa mãn

2 2 2 1 2 4 4 b a a + + = . Tìm giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2024 Q ab = + .

–––––––– Hết ––––––––

HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 1

1

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

2 2

2 ( 1) 1 2 : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x P x x x x x x x x   + − − = + +   − − − −  

0,25

2 ( 1) 1 : ( 1) ( 1) x x x P x x x + + = − − 0,25

2 ( 1) ( 1) . ( 1) 1 x x x x P x x + − = − + 0,25

2

1 x P x = −

Vậy

2

1 x P x = −( với 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠−)

0,25

2

* Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 9 4 20 9 18 4 2 x y xy x xy y xy + − = − + − 0,25 ( ) ( ) ( )( ) 9 2 2 2 2 9 2 x x y y x y x y x y = − − − = − − 0,25 * Áp dụng, ta có: 2 2 9 4 20 0 x y xy + − = ( )( ) 2 9 2 0 x y x y ⇒ − − = (1) Mà: 3 2 0 9 2 9 2 0 x y x y x y > > ⇒ > ⇒ − > (2) Từ (1) và (2) 2 0 2 x y x y ⇒ − = ⇒ =

0,25

* Khi 12 4 8 2 1 6 2 8 y y y x y A y y y − = ⇒ = = = + 0,25

Câu 2

1

Phương trình tương đương với

( )( )( )( ) ( )( ) 2 2 7 2 5 4 72 9 14 9 20 72 0 x x x x x x x x − − − − = <=> − + − + − = 0,25

Đặt 2 9 14 x x t − + = , khi đó phương trình trở thành: ( ) ( )( ) 6 72 0 12 6 0 t t t t + − = => + − = 0,25

Với

2

2 9 23 12 9 14 12 0 2 4 t x x x   = − => − + = − => − + =    

0,25

Với ( )( ) 2 6 9 14 6 1 8 0 t x x x x = => − + = => − − =

Tìm được 2 nghiệm là 1, 8 và kết luận.

0,25

2 ( ) ( 2). ( ) 11 f x x h x = − + . Cho x = 2 (2) 4 2 11(1) f a b c ⇒ = + + =

0,25

Mà

2 2

2

3 2

( ) ( 2)( 1) a( 1) ( )

( 2 )( 1) ( )

du x

f x x x x x x a b x c a

x a x x a b x c a

= +

= − − + + − + + + + −

= − + − + + + + −  0,25

2 2(2). (1)(2)(3) ( ; ; ) (1;2;3) : 2 3 3(3) c a Tu a b c du x x a b − =  ⇒ ⇒ = ⇒ + + + = 

0,25

Câu 3

1

* Ta có: 2 2 2 2 2 x y xy y + + + = .

 ( ) ( ) 2 2 2 2 4 8 8 4 8 0 2 2 9 2 1 x y xy y x y y + + + − = ⇔ + = − +

0,25 0,25 0,25 0,25

* Vì ( ) ( ) 2 2 2 2 0 9 2 1 0 2 1 x y y y + ≥ ⇒ − + ≥ ⇔−≤ ≤, mà y là số nguyên.

{ } 2; 1;0;1 y ⇒ ∈− −

* Với ( ) 2 2 2 4 0 2 y x x = −⇒ − = ⇔ =

* Với ( )

2 1 2 2 8 1 2 y x x = −⇒ − = ⇔ = ± (loại do x nguyên)

* Với ( )

2 0 2 8 2 y x x = ⇒ = ⇔ = ± (loại do x nguyên)

* Với ( ) 2 1 2 2 0 1 y x x = ⇒ + = ⇔ = −

Vậy cặp số ( ) ;x y nguyên thỏa mãn phương trình là: ( ) ( ) 2; 2 , 1;1 − −

Đặt ( ) 2 3,4 14 7 d n n n = + + + (d nguyên dương)

2 3

4 14 7

n d

n n d

+  ⇒ + + 



 2 ( 3)(4 2)

4 14 7

n n d

n n d

+ +  ⇒ + + 





2

2 4 14 6 1 4 14 7

n n d d n n d

 + +  ⇒ ⇒ =  + + 





0,25

Suy ra 2 4 14 7, 3 n n n + + + là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Mà A là số chính phương => 2 4 14 7 n n + + , 3 n + là số chính phương. ( ) ( ) 2 2 2 * 2 3 4 14 7 2 4 n n n n n ∈ ⇒ + ≤ + + < + 

0,25

 ( ) 2 2 4 14 7 2 3 1 n n n n + + = + ⇒ = 0,25

Thử lại với …