Đề thi Olympic Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Thanh Oai - Hà Nội

PHÒNG GDĐT THANH OAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, 8

Năm học 2023 - 2024

Môn: Toán – Lớp: 8

Ngày thi: 02 tháng 4 năm 2024

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm 01 trang) Câu 1. (5 điểm)

1. Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x A x x x x x x                

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để 0 A  c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A khi x > 1

2. Cho các số , , x y z khác 0 thỏa mãn đồng thời 1 1 1 2 x y z    và 2 2 1 4 xy z   . Tính

giá trị của biểu thức 2024 ( 2 ) P x y z   

Câu 2. (4 điểm) 1. Tìm đa thức ( ) f x , biết ( ) f x chia cho 3 x dư 5, ( ) f x chia cho 5 x  dư 7, ( ) f x

chia cho    3 5 x x   được thương là 2x và còn dư.

2. Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 1 = x2 + 2y Câu 3. (4 điểm) 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất và giống hệt nhau. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc này trong cùng một lần gieo là số lớn hơn 8 2. Tìm tất cả số nguyên tố p, q sao cho A= 2 2 3 p pq q   là bình phương của một số

tự nhiên. Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE , CF cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC; gọi I, P lần lượt là điểm đối xứng của H qua D và M.

a) Chứng minh rằng tứ giác BIPC là hình thang cân. b) Trên đoạn thẳng AP lấy điểm O sao cho OP = OC. Gọi G là giao điểm của OH và AM. Chứng minh ba điểm B, G, N thẳng hàng.

c) Gọi Q là giao điểm của AH và EF. Chứng minh rằng 2 . . . AQ DB DC AD HQ 

Câu 5. (1 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y và số nguyên tố p sao cho 4 4 x p y  

- Hết – Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không sử dụng máy tính. Họ và tên: ……………………………………………………. Số báo danh: ………… Học sinh Trường THCS: ………………………………………………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

Câu Nội dung Điểm 1 a) Với 0; 1.   x x ta có:

 

   

   

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 2 1 1 2 : : 2 1 1 1 ( 1) 1

( 1)( 1) 2 1 2 : : ( 1) ( 1) 1 1

1 ( 1) ( 1) : . ( 1) 1 1 1 1

                              

                           

           

x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

b) Lập luận được 0 A  khi 1 x , 0; 1. x x  

c) Với 0; 1.   x x A đạt giá trị nhỏ nhất khi

2

1  x x đạt GTNN.

Mà

2 2 2 ( 4 4) (4 4) ( 2) 4. 1 1 1            x x x x x x x x

Có 2 ( 2) 0    x x và x > 1 suy ra x -1 > 0.

2 2 ( 2) ( 2) 0 4 4 4. 1 1            x x A x x .

Dấu “=” xảy ra 2 0 2     x x (TMĐK).

1

1

0,5

0,5

3







Thay vào ta được

2024 1 1 1 2. 1 2 2 2 P          

0,5

0,5

0,5

0,5

2

2 1.

   3 5

( ) ( 5) ( ) 7 ( ) ( 3)( 5).2

f x x A x

f x x B x f x x x x mx n

  

       

0,5

Từ đó suy ra :

  3 5 3 5 f m n     

  5 7 5 7 f m n     

Tìm ra 1; 2 m n  

Thay vào ta có đa thức 

3 2 2 16 29 2 f x x x x    

0,5

0,5

0,5

2

2

2. Theo đề ta có 3xy – 2y = x2 + 1  y(3x – 2) = x2 + 1

Do x, y nguyên nên suy ra x2 + 1 chia hết cho 3x – 2 Do đó 9.(x2 + 1) chia hết cho 3x – 2 do đó (3x+2).(3x - 2) + 13 chia hết cho 3x – 2

Suy ra 13 chia hết cho 3x – 2, mà x nguyên nên 3x – 2    13; 1; 1; 13    3x    11;1; 3;15   x    1; 5

Thay x lần lượt vào (1) ta được y =2 Vậy các cặp số (x, y) là (1;2), (5;2)

0,5

0,5

0,5

0,5

3 1. Mỗi con xúc sắc có 6 mặt nên khi gieo 2 con xúc sắc thì có 6.6 = 36 khả năng xảy ra. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trong 2 lần gieo là số lớn hơn 8”. Các khả năng để biến cố A xảy ra là: (3,6); (4,5); (4,6);(5,4); (5,5); (5,6); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6): có 10 khả năng để biến cố A xảy ra. Xác suất để tổng số chấm trong hai lần gieo là số lớn hơn 8 là:

P(A)=10 5 36 18 

0,5

1

0,5

2

2

2. Tìm tất cả số nguyên tố p, q sao cho A= 2 2 3 p pq q   là bình phương của một số tự nhiên.

Nếu .p q không chia hết cho 3 thì 2 2 , p q chia 3 dư 1 nên A chia 3 dư 2, do đó A không là số chính phương

Suy ra .p q …