Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Gia Viễn - Ninh Bình

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN GIA VIỄN

(ĐỀ CHÍNH THỨC)

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2023 – 2024

MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề này gồm 05 câu, 02 trang)

Câu 1 (5,5 điểm).

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)

5 4 3 2 2 3 6 8 3 x x x x − + − + b) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 – – – x y y z z x + +

2. Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P .

b) Tìm x để 1 2 P − = .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi 1 x >

Câu 2 (3,0 điểm). 1. Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn:

2 2 2 2 ( ) a b c a b c + + = + +

Chứng minh rằng: 2 2 2 0 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + = + + +

2. Cho đa thức:

3 2 ( ) + ax f x x bx c = + + với a, b,c là các số thực . Biết đa thức f(x) chia cho

đa thức x + 1 dư – 4 và chia cho đa thức x – 2 dư 5. Tính giá trị của

2025 2025 2025 2025 2025 2025 ( )( )( ) A a b b c c a = + − +

Câu 3 (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 1 2 1 5 1 x x x x − + − + = +

2. Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , ) x y thỏa mãn đẳng thức:

2 2 2 2 2 0 x y xy y + + + − = Câu 4 (6,0 điểm). 1. Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh bằng 3a và cạnh bên SA bằng 2a(với a>0). Tính độ dài đường cao của hình chóp và thể của hình chóp. 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho

0 AM AC < < . Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên BC , MK cắt AB tại H . Gọi , E F lần lượt là trung điểm của CH và BM , O là điểm cách đều ba điểm , , B C M . Chứng minh rằng:

a) CH BM = b)  0 45 EAK = c) . . AB BM AK CB =

d) Các đường thẳng , , AK EF OH đồng quy.

Câu 5 (1,5 điểm).

1) Hai số phân biệt được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp { } 2; 1;0;3;4;5 − − và đem nhân với nhau. Hỏi xác suất để tích bằng 0 là bao nhiêu? 2. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 2 2 2 a b c abc + + ≤ .

Chứng minh: 2 2 2 1 2 a b c a bc b ca c ab + + ≤ + + +

---------------Hết---------------

UBND HUYỆN .......... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI

Môn: Toán 8 Năm học 2023 - 2024 (HDC gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (5,5điểm)

1. (1,5 điểm) a) 5 4 3 2 5 4 4 3 3 2 2 2 3 6 8 3 2 2 5 5 3 3 x x x x x x x x x x x − + − + = − − + + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 2 2 1 1 5 1 3 1 x x x x x x x = − − − + − − − 0,25

( ) 2 3 2 1 (2 6 3) x x x x − + + + 0,25

( ) ( )( ) 2 2 1 3 2 1 x x x − + + 0,25 b) (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0.

3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) 3 ( ) 3 a b c a b ab a b c a b c abc ⇒ + = − ⇔ + + + = − ⇔ + + = 0,5

Vậy: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 – – – ) 3( )( )( x y x y y z z z x y z x = + + − − − 0,25 2. (4,0 điểm) a) (1,5 điểm) ĐKXĐ: 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠− 0,25

Ta có: ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2 1 1 1 2 : 1 1 1 1

x x x x x x P x x x x x x x

  + + − − = + +   − − − −  

0,5

( ) ( ) ( )

2 2

2 1 1 2 : 1 1

x x x x x x x x

+ −+ + − = − − ( ) ( ) ( ) 2 1 1 : 1 1

x x x x x x

+ + = − − 0,25

( ) ( )

( ) 2

2 1 1 1 1 1

x x x x x x x x

+ − = ⋅ = + − −

Vậy,

2

1 x P x = − với 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠−.

0,5

b) (1,0 điểm)

Để 1 2 P − = với 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠− suy ra

2 1 1 2 x x − = − với 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠− 0,5

( )( ) 2 1 2 1 ... 2 1 1 0 2 1

x x x x x x

=  ⇒ = −+ ⇔ ⇔ − + = ⇔= − 

0,25

Vì 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠− nên chọn 1 2 x =

Vậy, 1 1 2 2 P x − = ⇔ =

0,25

c) (1,5 điểm)