Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Lương Tài - Bắc Ninh

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: Toán- Lớp 8 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2024

I. PHẦN CHUNG (dành cho tất cả các thí sinh) Bài 1. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức:

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

với ( 0; 1) x x ≠ ≠±

2) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

4 2 5 4 x x − + ;

3) Cho 2 4 10 3 0 x x − + = . Tính giá trị của biểu thức: 5 5 243 32 32 Q x x = + .

Bài 2. (3,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên ( ) ;x y thỏa mãn điều kiện: 2 2 2 2 2 x y xy y + + + = .

2) Tìm các số tự nhiên n để ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố.

Bài 3. (3,0 điểm) 1) Tìm đa thức ( ) f x biết ( ) f x chia cho ( ) 3 x − dư 2; ( ) f x chia cho ( ) 4 x + dư 9 và

( ) f x chia cho ( ) 2 12 x x + − được thương là ( ) 2 3 x + và còn dư.

2) Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 2 2 5 2 -3 -3 7 2052 2054 x x x x x x − + − = + − +

Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao ; AD BE và CF cắt nhau tại H . Qua B kẻ đường thẳng song song vớiCF cắt tia AD tại K .

1) Chứng minh AEF ∆ đồng dạng ABC ∆

2) Chứng minh 2 . AB AD AK = và 1 HD HE HF AD BE CF + + =

3) Gọi I là trung điểm BC . Tia HI cắt BK tại . N Chứng minh AN vuông góc EF

II. PHẦN RIÊNG 1. Dành cho thí sinh bảng A Bài 5. (4,0 điểm)

1) Cho 0, 0 x y > > và 3 x y ≥ − . Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 28 1 2 2023 A x y x y = + + + +

2) Cho tam giác ABC,M là điểm di chuyển trên đoạn BC.Từ M kẻ MD song song với AC,ME song song với AB (D thuộc AB; E thuộc AC).Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ADME lớn nhất. 3) Giải bóng đá của một trường THCS có 10 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt (hai đội bất kỳ đều thi đấu với nhau một trận và phân rõ thắng - thua ). Biết rằng đội thứ nhất thắng 1a trận và thua 1b trận, đội thứ hai thắng 2a trận và thua 2b trận, ... , đội thứ 10 thắng 10 a trận và thua

10 b trận. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 10 1 2 3 10 ... ... a a a a b b b b + + + + = + + + + . 2. Dành cho thí sinh bảng B Bài 5. (4,0 điểm) 1) Cho đa thức 2 ( ) f x ax bx c = + + nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên chứng minh rằng 2a ;b a − và c là các số nguyên và ngược lại. 2) Cho ,x y là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2 1 1 2 1 1 1 x y xy + ≥ + + +

---------- Hết ---------- Họ và tên thí sinh:.................................................................... ; Số báo danh:....................

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1 Hướng dẫn giải Thang

điểm 1.1

(1,5điểm)

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x   + + − = + +   − + − −  

2 2

2 ( 1) 1 2 : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x P x x x x x x x x   + − − = + +   − − − −  

0,25 đ

2 ( 1) 1 : ( 1) ( 1) x x x P x x x + + = − −

0,25 đ

2 ( 1) ( 1) . ( 1) 1 x x x x P x x + − = − +

0,5 đ

2

1 x P x = −

Vậy

2

1 x P x = −

( với 0; 1; 1 x x x ≠ ≠ ≠−)

0,5 đ

1.2 (1,5điểm)

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )( )( )

4 2

4 2 2

4 2 2

2 2 2

2 2

5 4

4 4

4 4

4 4

4 1

2 2 1 1

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

− +

= − − +

= − − −

= − − −

= − −

= + − + −

0.5 0.25 0,25 0,25 0,25

1.3 (1,0 điểm)

+Ta thấy x = 0 thì 3 0 VT VP x = ≠ ⇒ = không phải là nghiệm của phương trình 2 4 10 3 0 x x − + = (1). Do đó 0 x ≠ . 3 3 (1) 2 5 0 2 5 2 2 x x x x ⇒ ⇔ + − = ⇒ + =

Đặt :

2 5 3 . 3 2

a x a b

a b b x

=  + =   ⇒   = =  

Mà: ( )

5 5 5 5 5 5 243 3 32 2 32 2 Q x x a b x x   = + = + = +     ( )

( ) ( )

2 2 2

3 3 3 * 2 19

* 3 80

a b a b ab

a b a b ab a b

+ = + − =

+ = + − + =

( )( ) ( ) 5 5 2 2 3 3 2 2 2 19.80 3 .5 1475 Q a b a b a b a b a b = + = + + − + = − =

0.25 0.25 0,25 0,25 Bài 2 Hướng dẫn giải Thang