Đề học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Hoài Nhơn - Bình Định

BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951

GV: Lê Hồng Quốc " Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 1

UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN

PHÒNG GD – ĐT

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ

Năm học: 2023 – 2024

Môn: TOÁN 8 – Ngày thi: 13/04/2024 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ---------- oOo ----------

Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:

4 2 2

6 4 2 4 2 2 1 3 1 1 4 3 x x x A x x x x x            .

a) Tìm điều kiện xác định của A . b) Rút gọn A . c) Tính giá trị lớn nhất của A . Bài 2. (4,0 điểm)

a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện:

2 2 2 4 2 2 4 4 2 6 10 34 0 a b c ab ac bc b c          . Tính giá trị của biểu thức:       2024 2024 2024 4 4 4 B a b c       .

b) Biết m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng:  

2 2 2 2 2 2 4 0 m n p m n     .

Bài 3. (4,0 điểm)

a) Cho a , b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng 1 ab a b  chia hết cho 48 . b) Cho a và b là các số tự nhiên của hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2 2 3 a a b b   . Chứng minh rằng: a b  và 3 3 1 a b   là các số chính phương. Bài 4. (4,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P . a) Tứ giác AMDB là hình gì? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng AB , AD . Chứng minh EF AC  và ba điểm E , F , P thẳng hàng.

c) Chứng minh rằng tỷ số hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P .

d) Giả sử CP BD  và 2,4 CP  cm ; 9 16 PD

PB  . Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật

ABCD . Bài 5. (3,0 điểm)

Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC . Tia AO cắt BC tại

D . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho DE DB  ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho DF DC  . a) Chứng minh: DA là tia phân giác của  EDF . b) DE cắt OB tại I ; DF cắt OC tại K . Tam giác IOK là tam giác gì? Vì sao? Bài 6. (1,0 điểm)

Cho tam giác OAB có  120 O  , OA a  , OB b  và đường phân giác của góc O là OC c .

Chứng minh: 1 1 1 a b c   .

----------  HẾT  ----------

ĐỀ CHÍNH THỨC

BD HSG – Toán 8 ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951

GV: Lê Hồng Quốc " Chớ thấy sóng cả mà ngã tay chèo " Trang 2

ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 8 – HOÀI NHƠN 2023

Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:

4 2 2

6 4 2 4 2 2 1 3 1 1 4 3 x x x A x x x x x            .

a) Tìm điều kiện xác định của A . b) Rút gọn A . c) Tính giá trị lớn nhất của A .

a) Ta có  6 1 0 x  , với mọi x



2 4 2 2 1 3 1 0 2 4 x x x              , với mọi x .

 4 2 4 3 0 x x   , với mọi x .  Do đó A xác định với mọi x .

b) Ta có: A

4 2 2

6 4 2 4 2 2 1 3 1 1 4 3 x x x x x x x x           

     

4 2 2

4 2 2 4 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 3 x x x x x x x x x x             

      

4 2 2 4 2

2 4 2 2 1 1 1

1 1

x x x x x

x x x

      

     

4 2

2 4 2 1 1 x x x x x  

  

    

2 2 2

4 2 2 4 2 1

1 1 1

x x x x x x x x

       

.

 Vậy

2

4 2 1 x A x x   .

c) Ta có: 4 4 2 1 2 1 2 x x x    4 2 2 1 x x x   . Dấu " "  xảy ra khi 4 1 x   1 x .

Do đó

2 2

4 2 2 1 1 x x A x x x      .

 Vậy max 1 A  khi 1 x .

Bài 2. (4,0 điểm) a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện:

2 2 2 4 2 2 4 4 2 6 10 34 0 a b c ab ac bc b c          .

Tính giá trị của biểu thức:       2024 2024 2024 4 4 4 B a b c       .

b) Biết m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng:  

2 2 2 2 2 2 4 0 m n p m n     .

a) Ta có: 2 2 2 4 2 2 4 4 2 6 10 34 0 a b c ab ac bc b c           2 2 2 2 2 4 4 4 2 6 9 10 25 0 a b c ab ac bc b b c c                   2 2 2 2 3 5 0 a b c b c        .

Vì  

2 2 0 a b c   ,  

2 3 0 b   ,  

2 5 0 c   với mọi a , b , c .

Do đó   

 

 

 

2

2

2

2 0

3 0

5 0

a b c

b

c

         



2 0

3 0 5 0

a b c

b c

    …