Đề Olympic Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Quốc Oai - Hà Nội

PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI

ĐỀ OLYMPIC TOÁN 8

Năm học 2023 - 2024 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Họ và tên: ……………….....................………..……..…SBD:.............…

Câu 1 (4 điểm)

1/ Cho x 2 3 = − . Tính

2 x 4x 3 3 − +

2/ Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mãn: x2 + y = y2 + x.

Tính giá trị của biểu thức

2 2 x y xy A xy 1 + + = −

3/ Cho 3 3 x 2025 2023 = − . Tính x 2 6 −

Câu 2 (4 điểm)

1/ Rút gọn biểu thức

2 2 2 x 5 x 2x 5 2x A : x 25 x 5x 2x 10 5 x − −   = + +   − + + −   , với 5 x 0; x 5; 2 x ≠ ≠± ≠ .

2/ Cho a,b, c thỏa mãn: 2 (3a 2b) | 4b 3c | 0 − + − ≤

Tính giá trị của biểu thức

3 3 3 a b c Q abc + + =

3/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): ( 4) ( 3) 1 m x m y − + − = (m là tham

số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

Câu 3 (4 điểm)

1/ Trong túi đựng 48 viên bi cùng kích thước và khối lượng với hai màu đỏ và xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Biết rằng xác suất lấy được viên bi đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh. Hỏi trong túi có bao nhiêu viên bi màu đỏ, bao nhiêu viên bi màu xanh?

2/ Giải phương trình: 2 2 1 1 1 . 2 3 ( 1) 48 x x x = + + − + 3/ Cho đa thức A(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a là số nguyên dương. Biết rằng: A(5) – A(4) = 2024.

Chứng minh: A(7) – A(2) chia hết cho 5

Câu 4 (6 điểm)

Cho ∆ABC cân tại A. Trên AB, AC lần lượt lấy D, E sao cho AD = AE.

a/ Tứ giác BDEC là hình gì?

(Đề gồm có 02 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

b/ Tìm vị trí của D sao cho BD = DE = EC.

c/ Với giả thiết phần b và BD ⊥ DC. Tính BC biết EC = 5cm.

Câu 5 (2 điểm)

Tính độ dài h với các dữ liệu trong hình vẽ.

Thí sinh không được dùng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

A B

C

D

h

4

6

PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC

Năm học 2023 - 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8

Câu Phần Nội dung Điểm

1 4 đ

1/ 1.5đ

Cho x 2 3 = − . Tính

2 x 4x 3 3 − +

Có 2 2 2 x 4x 3 (x 2) 1 (2 3 2) 1 3 1 2 − + = − −= − − −= −= . Nên

2 x 4x 3 2 3 3 9 − + = =

1

0.5

2/ 1.5đ

Cho x, y là 2 số khác nhau thoả mãn: x2 + y = y2 + x.

Tính giá trị của biểu thức

2 2 x y xy A xy 1 + + = −

Có: x2 + y = y2 + x ⇔ x2 – y2 – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

Do x ≠ y nên x – y ≠ 0 ⇒ x + y – 1 = 0 hay x + y = 1

2 2 2 x y xy (x y) xy 1 xy A 1 xy 1 xy 1 xy 1 + + + − − ⇒ = = = = − − − −

0.5

0.5

0.5

3/ 1đ

Cho 3 3 x 2025 2023 = − . Tính x 2 6 −

Đặt a = 2023 ⇒ x = (a + 2)3 – a3 = 6a2 + 12a + 8

⇒ x – 2 = 6a2 + 12a + 6 = 6(a + 1)2

2 x 2 (a 1) a 1 2024 6 − ⇒ = + = + =

0,25

0,25

0.5

2 4đ

1/ 1.5đ

Rút gọn biểu thức 2 2 2 x 5 x 2x 5 2x A : x 25 x 5x 2x 10 5 x − −   = + +   − + + −  

với 5 x 0; x 5; 2 x ≠ ≠± ≠ .

2 2

2 2 2

x 5 x 5(2x 5) x 25 x 5x x(x 5)(x 5)

x 5 x 2x 5 10 : x 25 x 5x 2x 10 x 5 10 2x 2(x 5) A 2 x 5 x 5 x 5

− − + = − + − +

− −   + =   − + + −   − − = − = = − − − −

0,5

0.5

0.5

2/ Cho a,b, c thỏa mãn: 2 (3a 2b) | 4b 3c | 0 − + − ≤

1.5đ Tính giá trị của biểu thức

3 3 3 a b c Q abc + + =

Ta có: 2 (3a 2b) | 4b c 0; 3c | 0, a,b, − ∀ ≥ − ≥ Nên: 2 2 (3a 2b) | 4b 3c | 0 (3a 2b) | 4b 3c | 0 − + − ≤ ⇔ − − = =

3a 2b 4b 3c 0 3a 2b; 4b 3c a b c k 2 3 4

⇔ − − = ⇔ = = =

⇔ = = =

⇒ a = 2k, b = 3k, c = 4k

⇒ 3

3 3 3 3 3 3 3

3 a b c 6 99 33 Q abc 8 8k 27k 4k k 24k 24k + + + + = = = =

0,5

0,5

0.5

3 1đ

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d):

( 4) ( 3) 1 m x m y − + − = (m là tham số). Tìm m để khoảng cách

từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.

+ Với m = 4, ta có đường thẳng (d): y=1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1) + Với m = 3, ta có đường thẳng (d): x= - 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (2)

+ Với 3, 4 m m ≠ ≠ thì đường thẳng (d) cắt Oy, Ox lần lượt tại

A 1 0; 3 m     −   và B 1 ;0 4 m     −  

Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông OAB, ta có

1 1 ; 3 4 OA OB m m = = − −

Theo công thức tính diện tích tam giác OAB, ta có

1 1 . . . . 2 2 OAOB OH AB OAOB OH AB = ⇒ =

2

2 2 2 . 1 . OAOB AB OH AB OH OA OB ⇒ = ⇒ = (*)

Theo định lý Pythagore ta có 2 2 2 AB OA OB = +

0,25

0,25