Đề khảo sát HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT Yên Mô - Ninh Bình

1

UBND HUYỆN YÊN MÔ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 05 câu, trong 02 trang)

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 4 2 2024x 2023 2024 + + + x x b) ( )( )( ) 4 6 10 128 + + + + x x x x

2. Cho x, y là các số hữu tỷ khác 1 thỏa mãn: 1 2y 1 2x 1 1 x 1 y − − + = − − .

Chứng minh M = x2 + y2 – xy là bình phương của một số hữu tỷ.

3. Cho biểu thức

3 2 2 2

3 2 2 2 x x x x 1 2 x A : x 1 x 2x x x x x

  + + − = + +   − − + −  

với x 0;x 1 ≠ ≠±

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A khi x 1 > .

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải các phương trình sau: 2 2 4 1 5 4 5 +6 4 x x x − + = − +

2. Cho a b c 2025 + + = . Tính giá trị biểu thức:

3 3 3

2 2 2 a b c 3abc P a b c ab ac bc + + − = + + − − − .

3. Cho hai đa thức 4 3 ( ) ax 1 P x bx = + + và 2 ( ) x 2 1 Q x x = − + . Xác định các giá trị của a và b để đa thức ( ) P x chia hết cho đa thức ( ) Q x .

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn 4 a b 5 + ≤ . Chứng minh: a b 29 P a b ab 5 + = + + ≥ .

2. Tìm các số tự nhiên n để ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố.

Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho ABC ∆ vuông tại A có AB AC < . Kẻ đường cao AH ( H BC ∈ ), phân giác AM ( M BC ∈ ). Kẻ ME vuông góc với AB tại E , MF vuông góc với AC tại F . a) Chứng minh: . . BE BA BH BM = và HE là tia phân giác của góc . AHB

b) Chứng minh: BE HB CF HC = ⋅

2. Một khối chóp đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng

9 dm, diện tích toàn phần bằng 204 và diện tích xung quanh bằng 168 . Giả sử

người ta sử dụng khối chóp này để chứa nước tưới tiêu cho cây hoa màu. Biết rằng cứ cách

ĐỀ CHÍNH THỨC

2

một ngày sẽ phải tưới nước một lần, mỗi lần tưới hết 10 lít nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày sẽ

dùng hết số nước trong khối chóp?

Câu 5. (1,0 điểm)

1. Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên).

2. Hai đội bóng bàn của hai trường A và B thi đấu giao hữu. Biết rằng mỗi đối thủ của đội trường A phải lần lượt gặp các đối thủ của đội trường B một lần và số trận đấu gấp đôi tổng số đối thủ của hai đội. Tính số đối thủ của trường A và trường B.

--------------Hết------------

3

UBND HUYỆN YÊN MÔ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023 - 2024

MÔN THI: TOÁN 8

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (5,0 điểm )

1. (1,0 điểm) a) ( ) ( ) 4 2 x x 2024x 2024x 2024 = − + + +

0,25 ( ) ( ) 3 2 x x 1 2024 x x 1 = − + + +

( )( ) ( ) 2 2 x x 1 x x 1 2024 x x 1 = − + + + + +

0,25 ( )( ) 2 2 x x 1 x x 2024 = + + − +

b) (0,5 điểm) 4 2 x 2024x 2023x 2024 + + + ( )( )( ) x x 4 x 6 x 10 128 + + + +

0,25 ( )( ) 2 2 x 10x x 10x 24 128 = + + + +

Đặt

2 x 10x 12 t + + = . Khi đó: ( )( ) t 12 t 12 128 = − + + 2t 144 128 = − + 0,25 ( )( ) 2t 16 t 4 t 4 = − = − +

( )( ) 2 2 x 10x 16 x 10x 8 = + + + + ( )( )( ) 2 x 2 x 8 x 10x 8 = + + + +

2. (1,0 điểm)

Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 − − + = ⇔ − − + − − = − − − − x y x y y x x y x y 0,25

1 2 2 1 2 2 1 ⇔− − + + − − + = − − + y x xy x y xy x y xy

0,25 3 2 2 1 ⇔ = + − xy x y

( ) 2 2 2 3 ⇒ = + − = + − M x y xy x y xy

0,25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 = + − + − = + − + + = + − x y x y x y x y x y

Mà ,x y là các số hữu tỷ khác 1

2 2 ⇒ = + − M x y xy là bình phương của một số hữu tỷ (đpcm). 0,25

3. (1,0 điểm) x 0;x 1 ≠ ≠±

3 2 2 2

3 2 2 2 x x x x 1 2 x A : x 1 x 2x x x x x

  + + − = + +   − − + −  

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2 x x 1 x x 1 1 2 x : x 1 x x 1 x x x 1

  + + − = + +     − − −  

0,25

( )

( )

( )( ) ( )

2

2 x x 1 x 1 x 1 x 2 x : x x 1 x 1

+ + − + + − = − −

0,25

ĐỀ CHÍNH THỨC