Đề thi chọn HSG Toán 8 năm 2023 - 2024 phòng GDĐT thành phố Bắc Ninh

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023-2024

Môn thi: Toán 8 Ngày thi: 10/4/2024 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Cho biểu thức

2 2

2 2 2 2 8 2 3 6 1 : 3 2 5 6 4 3 1 x x x x x H x x x x x x x                     

với 1; 2; 3 x x x    .

a. Rút gọn H .

b. Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 2 H x  nhận giá trị là số tự nhiên.

2. Cho , , a b c là các số thực khác 0 thỏa mãn: 2 2 2 2 2 2 ; ; a c c c b b b a a       . Tính giá trị biểu thức ( )( )( ) T a b b c c a     . Câu 2. (4,0 điểm) 1. Cho hai đa thức ( ), ( ) P x Q x có bậc khác 0 và có hệ số cao nhất đều bằng 1, thỏa mãn ( ( )) ( ). ( ) P Q x P x Q x  x . Tính (2024) (2023). Q P  2. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn là số có 4 chữ số thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Câu 3. (4,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên tố , , m n p thỏa mãn 2 2 2 3 5 8 . m n p mnp   

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho 3 đường thẳng    2 1 ( ) : 2 1 d y x m ,    2 2 ( ) : d y x m m

và     2 3 ( ) : 3 2 d y x m m . Biết 1 ( ) d cắt 2 ( ) d và 3 ( ) d lần lượt tại   1 1 ; A x y và   2 2 ; B x y .

Tìm m để         2 2

1 2 1 2 320 x x y y . Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao AD, CF cắt nhau tại H. Gọi M là điểm thuộc đoạn thẳng DC sao cho BM < 2BD. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AM cắt CH tại K.

a. Chứng minh rằng: B KAH AM   ∽ . b. Lấy G đối xứng với H qua K. Gọi P là trung điểm của BM. Chứng minh: AG AP  . c. Khi BM = 2MC, gọi N là giao điểm của AG và BH. Chứng minh: AG = 2AN. 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 8. Trên cạnh BC , lấy điểm M sao cho 5 BM . Gọi N là giao điểm của đường thẳng CD và đường thẳng vuông góc với AM tại A . Gọi I là trung điểm của MN . Hãy tính độ dài đoạn thẳng DI . Câu 5. (2,0 điểm) 1. Cho ba số nguyên dương , , a b c thỏa mãn 10. a b c    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a b b c c a K c a b       .

2. Cho số 884 số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên tố ,p q trong các số đã cho thỏa mãn 2024. p q 

   HẾT   

Họ và tên thí sinh:………………………………………………………SBD………………...…

(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

1

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: Toán 8, ngày thi: 10/4/2024

Câu

1.1

Cho biểu thức

2 2

2 2 2 2 8 2 3 6 1 : 3 2 5 6 4 3 1 x x x x x H x x x x x x x   − − − − − = + −   − + − + − + −  

với

1; 2; 3 x x x    .

2.5 điểm

1.1a Rút gọn H . 1.5

có

2 2

2 2 2 2 8 2 3 6 1 : 3 2 5 6 4 3 1 x x x x x H x x x x x x x   − − − − − = + −   − + − + − + −  

(Đk: 1; 2; 3 x x x    )

2 8 ( 1)( 3) ( 2)( 3) 1 : ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 1) 1 x x x x x x x x x x x x   − + − + − = + −   − − − − − − −  

0.5

2 8 1 2 1 : ( 1)( 2) 2 1 1 x x x x x x x x   − + + = + −   − − − − −  

0.25

2 2

2 8 ( 1)( 1) ( 2)( 2).( 1) ( 1)( 2)

2 8 1 4 2 5 2 2

x x x x x x x x

x x x x x x

−+ + − − + − = − − −

−+ −− + − = = − −

0.5

Vậy − = − 2 5 2 x H x với 1; 2; 3 x x x    0.25

1.1b Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức 2 H x − nhận giá trị là số tự nhiên. 1.0

có   − − − = = = − = − −    − − − − − −  

2

2 2 2 2 5 2( 2) 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 ( 2) ( 2) ( 2) H x x x x x x x x

mà 2 H x − nhận giá trị là số tự nhiên nên {0;1} 2 H x  −

0.25

+)

2 2 1 1 0 1 1 0 1 1 2 2 2 H x x x     = − − =  − =     − − −    

1 1 5 1 1 2 ( / ) 2 2 2 1 1 1 1 0 ( ) 2 2

x t m x x

L x x

  −= =  =   − −       −= − =   − −  

0.25

+)

2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 H x x x     = − − =  − =     − − −    

1 1 0 2 1 3 ( ) 2 x x L x  −=  − =  = −

0.25

(HDC gồm 07 trang)