Đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2013 - 2014 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

1

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1. (4,5 điểm)

1) Rút gọn: 3 2 1 3 2 1 : 2 5 10 2 3 12 A               .

2) Tìm x biết, 2 1 2 .3 .5 10800 x x x    .

3) So sánh : (-32)27 và (-18)39

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, và tổng a+b+c 0 thoả mãn điều kiện:

b b a c a a c b c c b a         . Hãy tính giá trị của biểu thức                    b c c a a b B 1 1 1 .

2) Đồ thị hàm số y = f(x)= ax đi qua điểm A(2;4)

a) Xác định hệ số a

b) Tìm x, sao cho f(x) - x2= 0

c) Biết B(x0; y0) là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Hãy tính giá trị biểu thức

K= 1007.(4 x0 + 2) : (y0 + 1)

Câu 3. (3,0 điểm. 1) Tìm số nguyên n để biểu thức P = 2 7 n n   có giá trị lớn nhất.

2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm n biết, 4 n  và 2n đều là các số chính phương.

Câu 4. (6,0 điểm. Cho  xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông

góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C

kẻ CM vuông góc với Ay tại M .

1 ) Chứng minh K là trung điểm của AC.

2 ) Chứng minh KMC là tam giác đều.

3) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh của AKM.

Câu 5. (2,0 điểm). 1) Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên và a 0.

Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) luôn chia hết cho 23. Chứng minh rằng các số

a, b, c đều chia hết cho 23.

2) Tìm các số nguyên tố x, y thỏa mãn : x2 - 2y2 =1.

--------------Hết----------------

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

2

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 7 Năm học 2013 - 2014

Câu Nội dung Điểm

Câu 1

(4,5 điểm)

1) (1,5 điểm)

15 4 1 18 8 1 : 10 10 10 12 12 12 A              

12 11 : 10 12 

6 12 72 . 5 11 55  

Vậy 72 55 A 

0.5đ 0.5đ 0.5đ

2 ) (1,5điểm)

Ta có 2 1 2 2 .3 .5 10800 2 .2 .3 .3.5 10800 x x x x x x        2.3.5 900 x  

2 30 30 2 x x     Vậy 2 x  là kết quả cần tìm 3 ) (1,5điểm) 3227 = 27 5) 2 ( = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839 -3227 > -1839(-32)27 > (-18)39

0.75đ 0.25đ 0.5đ 0.75đ 0.75đ

Câu 2

(4.5điểm)

1) (2.0 điểm) Vì a+b+c 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

b b a c a a c b c c b a         = a b c b c a c a b a b c   = 1

mà 1 1 1 a b c b c a c a b c a b       = 2

=> a b b c c a c a b      =2

=> B = 1 1 1 ( )( )( ) b a c b a c a b c a c b a c b                    =2.2.2= 8

Vậy B= 8

0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ

3

2) (2.5 điểm)

a) a= 2

b) Hàm số được cho bởi công thức y = 2x

Từ f(x) - x2= 0 2x- x2= 0x(2- x)= 0x= 0 hoặc x= 2

Vậy x= 0 hoặc x= 2

c) Vì B(x0; y0) là một điểm thuộc đồ thị hàm số nên y0 = 2 x0

Suy ra K= 1007(4 x0 + 2): (y0 + 1) = 2.1007.(2 x0 + 1): (2 x0 + 1)

= 2014(2 x0 + 1): ( 2x0 + 1) = 2 014

0.5đ 0.25đ 0.75đ 0.5đ 0.5đ

Câu 3

(3 điểm)

1) (1,5 điểm)

P = 1+ 9 7 n 

Khi n< 7 thì P<1 Khi n= 7 thì P không xác định Khi n> 7 thì P> 1. Do đó ta cần tìm max của P khi n> 7

P max  9 7 n  đạt max  n – 7 đạt min

Vì n nguyên và n> 7 nên n= 8 Vậy P max = 10  n= 8

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Vậy số cần tìm là 32 n  . 0.25đ 0.25đ 0.75đ 0.25đ

Câu 4

(6 điểm)

V ẽ hình , GT _ KL

1) (1,75 điểm) ABC cân tại B do góc CAB= góc ACB (= góc MAC) và BK là đường cao  BK là đường trung tuyến  K là trung điểm của AC

0.25đ 1.0đ 0.75đ