Đề học sinh giỏi huyện Toán 7 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT Kim Thành - Hải Dương

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM THÀNH

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn : Toán Lớp 7 Thời gian làm bài 120 phút

(Đề khảo sát gồm 01 trang) Câu 1 (4,0 điểm):

a) Tính A =

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 4 6 8

        

b) Chứng minh rằng với n nguyên dương thì 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n chia hết cho 10.

Câu 2 (4,0 điểm):

a) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: x + 2y = 3xy + 3

b) Cho A= 2017

1 ... 4 1 3 1 2 1     ; B = 1 2 3 2015 2016 ... 2016 2015 2014 2 1      . Tính A

B

Câu 3 (3,0 điểm):

a) Cho 2016 2 1 ( 2) 0 x y x y z      . Tính giá trị của : A = 5 x2y2016z2017

b) Cho các số dương a,b,c,d; c d và a c b d  . CMR    

   

2016 2017 2017

2016 2017 2017

2017 2016 2016

2017 2016 2016

d c

b a

d c

b a



  



Câu 4 (3,0 điểm):

a) Cho a + b + c + d = 2000 và 1 1 1 1 1 40 a b c b c d c d a d a b            

Tính giá trị của : S = a b c d b c d c d a d a b a b c           

b) Xác định tổng các hệ số của đa thức f(x) =    

2016 2017 2 2 5 6 . 5 6 x x x x    

Câu 5 (6,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. c) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.

-------------Hết------------ Họ và tên thí sinh::........................................................... SBD........................................

Chữ ký giám thị 1: ……………………..………… Giám thị 2: ………………………………

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN KIM THÀNH

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn : Toán lớp 7 Câu Ý Nội dung Điểm 1 (4,0)

a (2,0)

A =

3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 4 11 13 4 6 8

        

=         

       

13

1 11

1 4 1 .5

13

1 11

1 4 1 .3

       

 

4 1 3 1 2 1 . 2 5

4 1 3 1 2 1

A =

2 5 1 5 3  = 3 2 5 5  .

A= 5 1 5 . Vậy A = 1

0,75

0,75

0,5

b (2,0)

Ta có 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n = ( 3n+2 + 3n ) – (2n+2 +2n ) = 3n .( 32 + 1 ) – 2n-1 . ( 23 + 2 ) = 3n .10 - 2n-1.10 = ( 3n - 2n-1 ).10 10. Vậy 3n+2 - 2n+2 + 3n - 2n 10

0,5 0,5 0,5 0,5 2 (4,0)

a (2,0)

Ta có x + 2y = 3xy + 3

 3x + 6y = 9xy + 9  ( 3x – 9xy ) + ( 6y -2 ) = 7  3x.( 1 - 3y ) -2.( 1-3y ) = 7  ( 3x – 2 ). ( 1 – 3y ) = 7 Vì x, y  Z nên 3x – 2 ; 1-3y là các số nguyên. Mà ( 3x - 2 ).( 1 – 3y ) = 7  3x – 2 ; 1-3y là ước của 7. Ta lại có Ư(7) =   7 ;1    3x – 2 ; 1-3y   7 ;1   Bảng giá trị

3x-2 -7 -1 1 7 1-3y -1 -7 7 1 x -5/3 1/3 1 3 y 2/3 8/3 -2 0 KTM KTM TM TM Vậy (x,y)      0;3 ; 2 ;1 

0,25 0,25

0,5 0,25

0,5 0,25

b (2,0)

B = 1 2 3 2015 2016 ... 2016 2015 2014 2 1     

B=                                  1 2 2015 ... 1 2014

3 1 2015

2 1 2016

1 1

B = 2017 2017 2 2017 ... 2014 2017 2015 2017 2016 2017     

0,75