Sử dụng phương pháp đại số, lượng giác giải bài toán tìm GTLN - GTNN môđun số phức

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Định nghĩa  Lưu ý: 2. Bất đẳng thức tam giác

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra khi 1 2 z kz  với 0 k  .

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra khi 1 2 z kz  với 0 k  .

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra khi 1 2 z kz  với 0 k  .

 1 2 1 2 z z z z    dấu bằng xảy ra khi 1 2 z kz  với 0 k  .

3. Bất đẳng thức AM-GM

Với 1 2 , ,..., n a a a không âm ta luôn có 1 2 1 2 ... . .... n n n a a a n a a a     , n là số tự nhiên

lớn hơn 1.Dấu bằng xảy ra khi 1 2 ... n a a a   . 4. Bất đẳng thức Bunyakovsky

    

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 .... .... ... n n n n a a a b b b a b a b a b          

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

1 2 ... n

n

a a a b b b   

B. BÀI TẬP

Kĩ thuật 1: Đánh giá hai modun với nhau Kĩ thuật này chúng ta tận dụng các phép đánh giá  a b a b   

 a b a b   

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn 2 1 z i  . Giá trị lớn nhất của z là

A. 5 . B. 2 . C. 2 2 . D. 2 . Phân tích Nhận thấy bên trong mô đun chỉ có 1 vị trí chứa z bởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai

modun 2z i , z với nhau.

Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các mô đun với nhau

a b a b    và a b a b    .

Lời giải

Ta có:

2 2 2 1 z i z i z    . Do đó

2 1 1 z 

2 2 z   0 2 z    .

Với 1 z i , ta có 2 1 z i i    và 2 z  .

Do đó max max 2 z z   .

Vậy chọn đáp án D

CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC

GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN - GTNN MÔĐUN SỐ PHỨC

Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và 2 w 2

z

z   là số thực. Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 1 P z i  .

A. 2 2 . B. 2 . C. 2 . D. 8 . Phân tích

Đề bài cho 2 w 2

z

z   là số thực nên ta tìm cách biểu diễn số phức z theo số thực đó.

Sau đó ta nhận thấy z là ẩn của phương trình bậc hai. Từ đó ta sẽ tìm được z .

Nhận thấy bên trong mô đun chỉ có 1 vị trí chứa z bởi vậy ta sẽ nghĩ đến đánh giá hai modun 1 z i  , z với nhau.

Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau

a b a b    và a b a b    .

Lời giải

Ta có    2 2 2 1 w w 2 2 0 * 2 w z z z z z z          .

(*) là phương trình bậc hai với hệ số thực 1

w . Vì z thỏa  * nên z là nghiệm phương

trình  * . Gọi 1 2 , z z là hai nghiệm của (*).

Suy ra 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 z z z z z z z        .

Suy ra 1 1 2 2 2 2 P z i z i      . Dấu bằng xảy ra khi 1 z i . Vậy chọn đáp án A

Câu 3. Cho số phức z thỏa 2 z . Tìm tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức z i P z   .

A. 3 . 4 B. 1. C. 2 . D. 2 . 3 Phân tích

 Nhận thấy z i z  có thể viết lại thành 1 i z  tức là bên trong cũng chỉ

có một vị trí chứa z . Nên ta tìm cách đánh giá z i z  với z .

Công cụ chúng ta hay dùng để đánh giá các môdun với nhau

a b a b    và a b a b    .

Lời giải

Chọn A

Ta có 1 3 1 1 . | | 2 i P z z     Mặt khác: 1 1 1 1 . | | 2 i z z   

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1

2 , xảy ra khi 2 ; z i  giá trị lớn nhất của P bằng 3

2 xảy ra khi

2 . z i 

Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn 2 1 3 2 2 z z i     . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?