Sử dụng phương pháp hình học giải bài toán tìm GTLN GTNN môđun số phức

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Điểm Torricelli: Cho tam giác ABC có góc lớn nhất không quá 120. Điểm Torricelli của tam

giác ABC là điểm T nằm trong ABC và có tổng 3 cạnh TA TB TC p q r      nhỏ nhất. Để

tìm ra điểm này, ta dựng 3 tam giác đều , , ACM BCN ABO : giao điểm của 3 đường tròn ngoại

tiếp của 3 tam giác đều này (hoặc giao điểm của , , AN BM CO ) chính là điểm Torricelli mà

chúng ta cần tìm.

2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Với hai dãy số thực 1 2 , ,..., m a a a và 1 2 , ,..., m b b b ta luôn có bất

đẳng thức sau

    

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... m m m m a a a b b b a b a b a b          

Dấu bằng xảy ra khi 1 2

2 2 ... m

m

a a a b b b   

CHUYÊN ĐỀ

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC

GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN - GTNN MÔĐUN SỐ PHỨC

3. Định lý Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ

giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lý này mang tên nhà toán

học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaeus).

Nếu A, B, C, và D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì: . . . AC BD AB CD BC AD  

4. Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ.

Nếu ABCD là tứ giác bất kỳ thì . . . AC BD AB CD BC AD   . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ

giác nội tiếp trong một đường tròn.

5. Định lí Stewart: Gọi a, b, và c là độ dài các cạnh của 1 tam giác. Gọi d là độ dài của đoạn thẳng

nối từ 1 đỉnh của tam giác với điểm nằm trên cạnh (ở đây là cạnh có độ dài là a) đối diện với đỉnh

đó.

Đoạn thẳng này chia cạnh a thành 2 đoạn có độ dài m và n, định lý Stewart nói rằng:

  2 2 2 b m c n a d mn   

B. BÀI TẬP

Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn 2 3 1    z i . Giá trị lớn nhất của 1  z i là

A. 13 2  . B. 4 . C. 6 . D. 13 1 .

Lời giải Chọn D

Gọi z x yi   ta có 2 3 z i   2 3 x yi i        2 3 x y i     .

Theo giả thiết     2 2 2 3 1 x y     nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường

tròn tâm   2;3 I bán kính 1 R .

Ta có 1 z i  1 x yi i       1 1 x y i         2 2 1 1 x y     .

Gọi   ; M x y và   1;1 H  thì     2 2 1 1 HM x y     .

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.

Phương trình 2 3 : 3 2 x t HI y t        , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn: 2 2 9 4 1 t t  

1 13 t  nên 3 2 2 ;3 13 13 M        

, 3 2 2 ;3 13 13 M        

.

Tính độ dài MH ta lấy kết quả 1 13 HM  .

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn 4 4 10 z z     .Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt

là. A. 10 và 4 . B. 5 và 4 . C. 5 và 3. D. 4 và 3

Lời giải Chọn C

Gọi z x yi   ,   ,x y .Theo giả thiết, ta có 4 4 10 z z    

    4 4 10 x yi x yi             2 2 2 2 4 4 10 * x y x y       

Gọi   ; M x y ,   1 4;0 F  và   2 4;0 F

Khi đó (*) 1 2 10 MF MF    nên tập hợp các

điểm  M z là đường elip  E .

Ta có 4 c  , 2 10 5 a a    và 2 2 2 9 b a c   

Do đó, phương trình chính tắc của  E là

2 2

1 25 9 x y  

Vậy max 5 z OA OA    và min 3 z OB OB    min ' 3 z OB OB   

O x A A

B

B

2 F 1F

4 4  5  5

3 

3 y

M1 I

H

M2