Tổng hợp 980 câu trắc nghiệm nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Nguyễn Bảo Vương

Nguyễn Bảo Vương SĐT: 0946798489

1 Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích

Phương pháp:

Để tìm nguyên hàm f(x)dx  , ta phân tích

1 1 2 2 n n f(x) k .f (x) k .f (x) ... k .f (x)    

Trong đó: 1 2 n f (x), f (x),...,f (x) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm

Khi đó: 1 1 2 2 n n f(x)dx k f (x)dx k f (x)dx ... k f (x)dx         .

Ví dụ 1.1.5 Tìm nguyên hàm:

2 2x x 1 I dx x 1     

3 x 1 J dx x 1    

3 1 K x dx x         

Lời giải.

1. Ta có:

2 2x x 1 4 2x 3 x 1 x 1       

Suy ra 2 4 I (2x 3 )dx x 3x 4ln x 1 C x 1          

2. Ta có:

3 3 2 x 1 x 1 2 2 x x 1 x 1 x 1 x 1         

Suy ra

3 2 2 2 x x J x x 1 dx x 2ln x 1 C x 1 3 2                 

3. Ta có :

3 3 3 1 3 1 x x 3x x x x

          

Suy ra

4 2 3 3 2 3 1 x 3x 1 K x 3x dx 3ln x C x 4 2 x 2x

                .

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Phương pháp:

“ Nếu   f x dx F x C    thì        f u x .u' x dx F u x C    ”.

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm  I f x dx  , trong đó ta có thể phân tích

Tài liệu ôn tập và giảng dạy

2 Thành công không có cái bóng của sự lười biếng!!!

     f x g u x u' x dx  thì ta thức hiện phép đổi biến số  t u x 

 dt u' x dx   . Khi đó:      I g t dt G t C G u x C      

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay  t u x 

Ví dụ 1.2.5 Tìm nguyên hàm:

3 I (x 1) 3 2xdx     3 xdx J 2x 2   

xdx K x 3 5x 3     

Lời giải.

1. Đặt

3 2 3 3 t 3 t 3 2x x dx t dt 2 2       

3 2 3 6 3 3 t 3 I 1 t.t dt (5t t )dt 2 2 4

              

7 4 3 3 4 7 (3 2x) 5 (3 2x) 3 5t t 3 C C 4 4 7 4 7 4

                       

2. Đặt

3 3 2 t 2 3 t 2x 2 x dx t dt 2 2       

Suy ra

3 2 5 4 2 t 2 3 t dt 3 3 t 2 2 J (t 2t)dt t C t 4 4 5

                

5 3 2 3 (2x 2) 3 (2x 2) C 4 5

            

.

3. Ta có: x( 5x 3 x 3)dx 1 I ( 5x 3 x 3)dx 5x 3 x 3 4             

3 3 1 1 (5x 3) (x 3) C 6 5           

.

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Phương pháp:

Nguyễn Bảo Vương SĐT: 0946798489

3 Giáo viên muốn mua file word liên hệ 0946798489

Cho hai hàm số u và v liên tục trên a;b     và có đạo hàm liên tục trên a;b    . Khi đó :

 udv uv vdu     

Để tính tích phân 

b

a I f x dx  bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn u,v sao cho  f x dx udv  (chú ý:  dv v' x dx  ).

Tính v dv  và du u'.dx  .

Bước 2: Thay vào công thức  và tính vdu  .

Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu  dễ tính hơn udv  .

Ta thường gặp các dạng sau

Dạng 1 :  sinx I P x dx cosx         , trong đó  P x là đa thức

Với dạng này, ta đặt  sinx u P x , dv dx cosx       

.

Dạng 2 : ax b I x e dx  

Với dạng này, ta đặt 

ax b u P x

dv e dx      

, trong đó  P x là đa thức

Dạng 3 :    I P x ln mx n dx   

Với dạng này, ta đặt   

u ln mx n

dv P x dx

     

.

Dạng 4 : x sinx I e dx cosx        