Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh nguyên hàm - tích phân - Nguyễn Vũ Minh (Tập 1)

1 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN 2018

1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b)  ................................

2) Họ nguyên hàm : , với C là ............................

3) Bảng nguyên hàm :

Hàm cơ bản : Hàm chứa (ax + b)

dx x C   

α 1 α x x .dx C α 1

      

α 1 α 1 (ax b) ax b dx C a α 1

      

dx ln x C x   

dx 1 ln ax b C ax b a     

2 dx 1 x x C    2 dx 1 1 . C (ax b) a ax b     

dx 2 x C x    dx 2 ax b C a ax b     

x x a a dx C lna   

ax b ax b 1 a a dx C a lna

    

x x e dx e C   

ax b ax b 1 e dx e C a

    

sinx.dx cosx C   

1 sin(ax b).dx cos(ax b) C a     

cosx.dx sinx C   

1 cos(ax b).dx sin(ax b) C a     

2 dx tanx C cos x    2 dx 1 tan(ax b) C cos (ax b) a     

2 dx cotx C sin x    2 dx 1 cot(ax b) C sin (ax b) a     

Phần 01 : NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH)

2 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN 2018

2 2 dx 1 x a ln C x a 2a x a      

Công thức chú ý :

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thƣơng, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa

thức<.. Căn thức thành lũy thừa :

m m n m n m n n n n 1 x x x ; x ; x x x

    

5) Công thức thường dùng :

2

2

1 cos2u cos u 2 1 cos2u sin u 2

 

 

2 2

2 2

1 1 tan u cos u 1 1 cot u sin u





3

3

3cosu cos3u cos u 4 3sinu sin3u sin u 4

 

 

2 2

2

2

sin2u 2sinu.cosu

cos2u cos u sin u

cos2u 2cos u 1

cos2u 1 2sin u



 

 



Ví dụ 01: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:

a/ 2 3 f(x) (2x 1)   b/ 2 f(x) (tan x cot x)   c/

3

2 2x 5x 2 f(x) x    d/

2x x

x e 3e 2 f(x) e 1    

♥Giải : a/ Ở đây ta sử dụng công thức :

α 1 α x x .dx C α 1

     Ta có 6 4 2 f(x) 8x 12x 6x 1    ,

Suy ra : 6 4 2 f(x)dx 8 x dx 12 x dx 6 x dx 1dx         

7 5 3 8 12 x x 2x x C 7 5     

3 Đăng kí học thêm Toán tại Biên Hòa – Đồng nai qua sđt 0914449230 (Zalo – facebook)

Gv. ThS Nguyễn Vũ Minh – SƢU TẦM và BIÊN SOẠN 2018

b/ Ta có 2 2 2 2 1 1 f(x) tan x cot x 2 1 1 2 cos x sin x                    

2 2 1 1 cos x sin x  

Suy ra: 2 2 1 1 f(x)dx dx dx tan x cot x C cos x sin x        

c/ Ta có 2 5 2 f(x) 2x . x x    Suy ra: 2 2 1 2 f(x)dx 2 xdx 5 dx 2 x dx x 5ln x C x x

           

d/ Ta có

2x x x x x x

x x e e 2(e 1) e (e 1) 2(e 1) f(x) e 1 e 1          

x x x x (e 1)(e 2) e 2 e 1      

Suy ra: x x f(x)dx e dx 2dx e 2x C        

Ví dụ 02 (THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2):

Biết hàm số      3 2 2 1       F x ax a b x a b c x là một nguyên hàm của hàm số

 2 3 6 2    f x x x . Tổng  a b c là:

A. 3. B. 2 . C. 4 . D. 5.

♥Giải : Đạo hàm :      2 3 2 2       F x ax a b x a b c .

Ta có:    

3 3 1 2 6 2 2 2 2

                    

a a F x f x a b b c a b c

5    a b c . Chọn đáp án D

Ví dụ 03 (Cụm 1 – Tp.HCM): Biết một nguyên hàm của hàm số  y f x  là  2 4 1 F x x x   .

Khi đó, giá trị của hàm số  y f x  tại 3 x  là.

A.  3 30 f  . B.  3 22 f  . C.  3 10 f  . D.  3 6 f  .

♥Giải :

Cách 1 : Ta có:     2 4 1 2 4 F x f x f x x x x          .

 3 2.3 4 10 f    . Chọn đáp án C

Cách 2 : sửdụng máy tính Casio.