Bài giảng ứng dụng của tích phân

TOANMATH.com Trang 1

CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay.

+ Ghi nhớ các kiến thức cơ bản về phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip.

+ Nắm được định nghĩa, tính chất và các phương pháp tính tích phân.

 Kĩ năng

+ Hiểu rõ các ứng dụng của tích phân để vận dụng vào việc tính diện tích hình phẳng và thể tích

của các vật thể, cũng như vật thể tròn xoay.

+ Lập được phương trình đường thẳng, parabol, đường tròn và elip để xử lí các bài toán liên

quan.

+ Tính được diện tích hình phẳng, thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay trong các trường hợp

cụ thể.

TOANMATH.com Trang 2

A. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng   H giới hạn bởi đồ thị hàm số

 y f x  liên tục trên đoạn   ;a b , trục hoành và hai đường

thẳng x a  , x b  (với a b  ) được xác định theo công thức:



b

a S f x dx 

Chú ý

Nếu  f x không đổi dấu trên đoạn   ;a b thì

 

b b

a a S f x dx f x dx    

• Nếu phương trình  0 f x  có nghiệm duy nhất x c  thuộc

khoảng   ;a b thì

  

b c b

a a c S f x dx f x dx f x dx      

 

c b

a c f x dx f x dx    

• Nếu phương trình  0 f x  có hai nghiệm 1 2 c c  thuộc

khoảng   ;a b thì

   

1 2

1 2

c c b b

a c c c S f x dx f x dx f x dx f x dx        

Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Diện tích hình phẳng   H giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

  1 C :  y f x  ,   2 C :  y g x  liên tục trên đoạn   ;a b và

hai đường thẳng x a  , x b  (với a b  ) được xác định theo

công thức:

 

b

a S f x g x dx   

Phần tô màu đen chính là diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

 y f x  liên tục trên đoạn   ;a b , trục

hoành và hai đường thẳng x a  , x b 

(với a b  ).

Đặc biệt:

• Nếu  0 f x  ,   ; x a b  thì

 

b b

a a S f x dx f x dx    

• Nếu  0 f x  ,   ; x a b  thì

 

b b

a a S f x dx f x dx    

Phần gạch chéo trong hình là hình

phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

  1 C :  y f x  ;  2 C :  y g x 

liên tục trên đoạn   ;a b và hai đường

TOANMATH.com Trang 3

Chú ý

• Nếu phương trình   f x g x  vô nghiệm trên khoảng

  ;a b thì    

b b

a a S f x g x dx f x g x dx           .

• Nếu phương trình   f x g x  có nghiệm duy nhất x c 

thuộc   ;a b thì    

c b

a c S f x g x dx f x g x dx      

   

c b

a c f x g x dx f x g x dx              

• Nếu phương trình   f x g x  có hai nghiệm 1 2 c c  thuộc

khoảng   ;a b thì

  

1c b

a c S f x dx f x g x dx         

   

2

1 2

c b

c c f x g x dx f x g x dx              

thẳng x a  , x b  (với a b  ).

Đặc biệt:

° Nếu   f x g x  ,   ; x a b  (đồ thị

  1 C nằm phía trên đồ thị   2 C ) thì ta

có:  

b

a S f x g x dx   

 

b

a

f x g x dx       

• Nếu   f x g x  ,   ; x a b  (đồ thị

  1 C nằm phía dưới đồ thị   2 C ) thì ta

có:  

b

a S f x g x dx   

 

b

a

f x g x dx       

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA