Chuyên đề trắc nghiệm phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm

CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TÌM NGUYÊN HÀM

DẠNG 1. ĐỔI BIẾN SỐ HÀM SỐ VÔ TỈ (Đặt t = hàm theo biến x)

 Mẫu 1: Đổi biến hàm số vô tỷ đơn giản

Nguyên hàm ( ) f x dx ∫ trong đó ( ) ( ) n f x g x = ta đặt ( ) ( ) n n t g x t g x = ⇒ =

( ) 1 n nt dt g x dx − ′ ⇒ = . Khi đó ( ) ( ) . f x dx h t dt = ∫ ∫

 Mẫu 2: Nguyên hàm dạng ( ) . x f a dx ∫

Ta đặt ( ) ( ). ln .ln .ln

x x x f t dt dt t a dt a adx dx f a dx t a t a = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∫ ∫ .

 Mẫu 3: Nguyên hàm dạng ( ) ln . f x dx

x ∫

Ta đặt 1 ln . t x dt dx x = ⇒ = Khi đó ( ) ( ) ln . f x dx f t dt x = ∫ ∫

Chú ý: Nếu nguyên hàm Mẫu 2 và Mẫu 3 có chứa căn thức, ta nên đặt t bằng căn thức.

Ví dụ với nguyên hàm

2 ln .

ln 1

x dx I x x = + ∫ ta nên đặt 2 2 2 ln 1 ln 1. t x t x = + ⇒ = +

1 1 2 2ln . ln . . tdt x dx tdt x dx x x ⇒ = ⇒ = Khi đó 2 ln 1 tdt I dt t C x C t = = = + = + + ∫ ∫ .

Ví dụ 1: Tìm các nguyên hàm sau:

a) 3 2 4 . I x x dx = + ∫ b) ( )

3 2 4 . I x x dx = + ∫

c)

( )

. 1

dx I x x = + ∫ d)

3 1 . 9 I dx x x = + ∫

Lời giải

a) Đặt 2 2 2 4 4 2 d 2 . t x t x t t xdx tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = ⇔ =

Khi đó ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 4 . 4 I x x xdx t t tdt t t dt = + = − = − ∫ ∫ ∫

( ) ( ) 5 3 2 2 5 3 4 4 4 4 . 5 3 5 3

x x t t C C + + = − + = − +

b) Đặt 2 2 2 4 4 2 2 . t x t x tdt xdx tdt xdx = + ⇒ = + ⇒ = ⇔ =

Khi đó ( ) ( )

5 2 5 3 2 3 4 4 4 . . 5 5

x t I x x dx t tdt t dt C C + = + = = = + = + ∫ ∫ ∫

c) Đặt 2 2 t x t x tdt dx = ⇒ = ⇒ =

Khi đó ( ) ( )

( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 2 . 1 1 1 1

t t dt tdt dt I dt t t t t t t t t

+ −   = = = = −   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫

2ln 2ln 1 2ln 2ln . 1 1

t x t t C C C t x = − + + = + = + + +

d) Đặt 3 2 3 2 9 9 2 3 t x t x tdt x dx = + ⇒ = + ⇒ =

Ta có:

( )

2

2 3 3 3 1 3 2

3 9 . 9 3 9

x tdt I dx dx t t x x x x = = = − + + ∫ ∫ ∫

( )( )

( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 2 2 1 1 1 1 3 3 3 3 9 3 3 9 3 3 9

t t dt dt dt t t t t t t t

+ − −       = = = = −   − + − + − + −   ∫ ∫ ∫ ∫

3

3 1 3 1 9 3 ln ln . 9 3 9 9 3

t x C C t x

− + − = + = + + + +

Ví dụ 2: Tìm các nguyên hàm sau:

a) 2 1 . 1

x

x e I dx e + = + ∫ b)

2 ln 1 . ln x I dx x x + = ∫

c) ln . 2ln 1 . x x I dx x + = ∫ d) ln . . ln 2

x I dx x x = + ∫

Lời giải

a) Đặt x x t e dt e dx dt tdx = ⇒ = ⇒ =

Khi đó ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2 2 1 2 1 ln ln 1

x x d t t t dt t dt I t t C e e C t t t t t t

+ + + = = = = + + = + + + + + ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ln ln 1 ln 1 . x x x e e C x e C = + + + = + + +

Cách 2: 2 1 1 1 1 1 1 1   + + + = = = + = +   + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

x x x x x

x x x x e e e e e dx I dx dx dx dx e e e e

( ) ( ) 1 ln 1 . 1

x

x x d e x e x C e

+ = + = + + + + ∫

b) Đặt ln dx t x dt x = ⇒ =

Khi đó

2 2 2 1 1 ln ln ln ln . 2 2 t t x I dt t dt t C x C t t +   = = + = + + = + +     ∫ ∫

c) Đặt 2 2 2ln 1 2ln 1 2 . dx dx t x t x tdt tdt x x = + ⇒ = + ⇒ = ⇔ =

Khi đó: ( )

2 5 3 4 2 1 1 2 2 10 6 t t t I tdt t t dt C − = = − = − + ∫ ∫

( ) ( ) 5 3 2ln 1 2ln 1 . 10 6

x x t C + + ⇒ = − +

d) Đặt 2 ln 2 ln 2 2 dx t x t x tdt x = + ⇒ = + ⇒ =

Khi đó ( ) ( )

3 2 3 2 2 ln 2 2 2 .2 2 2 4 4 ln 2 . 3 3

x t t I tdt t dt t C x C t

+ − = = − = − + = − + + ∫ ∫

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 1 4 1

xdx I x = + ∫ b) 3 2 2 2 I x x dx = + ∫ c)

2

3 1

x dx I x = − ∫

Lời giải

a) Đặt ( )

2

2 2 2 1

1 2 4 . 1 4 2 4 1 4 1 1 8 4 1 4

t tdt tdt dx xdx t x t x I t dt t t t x x

− =  = + ⇔ = + → → = = = −  − = +  ∫ ∫ ∫

( )

3 3 4 1 1 1 4 1 . 8 3 8 3

x t t C x C   +     = − + = − + +        

b) Đặt ( ) 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 . 2 . t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt = + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = −

( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 2 2 5 3 2 3 2 4 2 2 2 2 2 2. . 2 2 2. 5 3 5 3

x x t t I x x dx t t tdt t t dt C C + + = + = − = − = − + = − + ∫ ∫ ∫

c) Đặt ( )

( )

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1

dx tdt t tdt x dx t x t x x t I t x t x

= −  −  = − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −  = − −  ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) 5 3 5 3 2 2 4 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 5 3 5 3

x x t t t dt t t dt t C x C   − −     = − − = − − + = − − + + = …