Chuyên đề trắc nghiệm tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác

CHỦ ĐỀ 10: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a)

3 2

3 2

7 3 2 . x x dx x x − − − ∫ b) ( ) 3

3 2

7 4 . 3 2 x dx x x − − + ∫

c)

2 2

6

sin sin3 xdx I x

π

π = ∫ d)

( )

4

3 2 0

tan 1 . cos 2tan 1

x I dx x x

π + = + ∫

Lời giải

a) Đồng nhất hệ số:

2 7 3 2 ( 1)( 1) 1 1 x x A B C x x x x x x − − = + + − + − +

( )( ) ( ) ( ) 2 7 3 2 1 1 1 1 (1) x x A x x Bx x Cx x ⇒ − − = − + + + + −

Xét PT (1) cho

1 2 2 1 0 2 2 1 8 2 4

x B B x A A x C C

 = ⇒ = =    = ⇒−= − ⇔ =     = −⇒ = =  

Khi đó ta có ( )

3 3

2 2

2 1 4 2ln ln 1 4ln 1 1 1 I dx x x x x x x   = + + = + − + +   − +   ∫

3 4 2ln ln 2 4ln . 2 3 = + +

b) Đồng nhất

( ) ( ) ( ) 3 2 2 7 4 7 4 1 2 3 2 1 2 1

x x A B C x x x x x x x

− − = = + + − + − + − + −

Ta có ( )

( )

3 3 3

3 2 2 2 2

7 4 1 2 2 1 1 1 8 2ln 2ln . 1 2 1 2 2 5 3 2 1

x dx x I dx x x x x x x x

  − − −  = = + − = + = +     − + − + − + −       ∫ ∫

c) ( ) 2 2 2 2 2 2

3 2 2

6 6 6 6

cos sin sin sin sin3 3sin 4sin 3 4sin 4cos 1

d x xdx xdx xdx I x x x x x

π π π π

π π π π = = = = − − − − ∫ ∫ ∫ ∫

( )( ) ( )

3 3 0 2 3 cos 2 0 3 0 2

1 2 1 1 ln ln 2 3 2 1 2 1 4 2 1 4 4 1

t x dt dt t I t t t t

= − → = = = = − − + + − ∫ ∫

d) Ta có

( )

4

3 2 0

tan 1 . cos 2tan 1

x I dx x x

π + = + ∫ Đặt 2 1 tan . cos t x dt dx x = ⇒ =

Đối cận

0 0

1 4

x t

x t π = ⇒ =

= ⇒ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1

3 3 2 3 2 0 0 0 0 0

1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 5 . 2 2 2 4 2 1 18 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1

t t dt dt I dt dt t t t t t t

  + + +   ⇒ = = = + = − − =   + + + + + +   ∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2: Cho tích phân

1

2 0 ln 2 ln3 2 3 1 xdx I a b c x x = = + + + + ∫ với , , . a b c ∈ Tính giá trị của biểu thức

2 3 . T a b c = + +

A. 0 T = B. 2 T = C. 2 T = − D. 1 T = −

Lời giải

( )( )

( ) ( ) ( )( )

1 1 1

2 0 0 0

2 1 1

2 1 1 2 1 1 2 3 1

x x xdx xdx I dx x x x x x x

+ − + = = = + + + + + + ∫ ∫ ∫

1

0

1 ln 2 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 ln3 1 2 1 2 2 2 0

a x dx x b x x c

=    +     = − = + − = − ⇒ = −      + +      =  ∫

Do đó 2 0. T a b c = + + = Chọn A

Ví dụ 3: Cho tích phân

4 2

2 3

2 4 1 ln5 ln3 x x I dx a b c x x + + = = + + + ∫ với , , . a b c ∈ Tính giá trị của biểu thức

2 T a bc = +

A. 5 T = B. 3 T = C. 1 T = D. 1 T = −

Lời giải

( ) ( ) 2 2 4 4 4 4 2 2 2 3 3 3 3

2 2 1 20 2 2 ln 2 ln 12

x x x d x x I dx dx x x x x x x

+ + + + = = + = + + = + + + ∫ ∫ ∫

1 5 2 ln ln5 ln3 2 1 1. 3 2

a

b T

c

=   = + = − + ⇒ = −⇒ = −   = 

Chọn D

Ví dụ 4: Cho tích phân

ln 2

0 ln 2 ln5 3 2 x dx a b c e = + + + ∫ với , , . a b c ∈

Tính giá trị của biểu thức 3 2 . T a b c = + +

A. 1 T = − B. 2 T = − C. 1 T = D. 1 T = −

Lời giải

Đặt . x x t e dt e dx tdx = ⇒ = = Đổi cận 0 1

ln 2 2

x t

x t

= ⇒ =

= ⇒ =

Khi đó ( )

( ) ( )

2 2 2

1 1 1

3 2 3 1 1 1 3 3 2 2 3 2 2 3 2

t t dt I dt dt t t t t t t

+ −   = = = −   + + +   ∫ ∫ ∫

2

1

1 1 1 8 1 ln ln 3 2 ln 2 ln ln 2 ln5 2 2 2 5 2 t t =  − +  = − = − +  

Do đó 1 0; 1; 2. 2 a b c T = = − = ⇒ = − Chọn B

Ví dụ 5: Cho tích phân

( )

2

2 0

sin 2 2ln , 2 sin

x I dx a b x = = + + ∫ với ,a b là các số hữu tỷ.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 3 2 2 a b + = − B. 3 2 1 a b + = − C. 3 2 1 a b + = D. 3 2 2 a b + =

Lời giải

Đặt sin cos t x dt xdx = ⇔ = và đổi cận

0 0

1 2

x t

x t π = → = = → = 

Khi đó

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 2

2 2 2 2 0 0 0 0

2sin 2 2 1 .cos 2 2 2 2 2 sin 2 2 2

x t t t I xdx dt dt dt t x t t t

π   + − = = = = −   + + + + +     ∫ ∫ ∫ ∫

1

0

2 2 2 2 3 3 2 ln 2 2 ln3 1 ln 2 2.ln 2.ln . 3 2 3 3 2 2

a t a b t b

 = −      = + + = + −− = − + = + ⇒     +      = 

Chọn C

Ví dụ 6: Cho tích phân

6

3 2

2 1 ln 7 ln5 ln3 x I dx a b c x x + = = + + − ∫ với , , . a b c ∈ Tính giá trị của biểu thức

S a b c = + +

A. 1 2 S = B. 3 2 S = C. 3 S = D. 5 2 S =

Lời giải

Ta có ( )( ) ( ) ( )( )

6 6 6 6

3 2 2 2 2

2 1 1 . 1 1 . 1 1 1 x x x dx dx dx dx x x x x x x x x x + + + = = + − + − − + − ∫ ∫ ∫ ∫

6 6

2 …