Một số ứng dụng khác của tích phân

Chủ đề 14: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN

 Dạng 1: Bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc, gia tốc và thời gian

Với bài toán chuyển động giả sử vận tốc tức thời của vật là ( ) v t thì ( ) ( ) ' v t s t =

Gia tốc tức thời của vật: ( ) ( ) ( ) ' " a t v t s t = =

Do đó quãng đường vật đi được từ thời điểm 1t đến 2t là ( )

2

1

.

t

t S v t dt = ∫

Vận tốc tức thời của vật: ( ) ( ) v t a t dt = ∫

Ví dụ 1: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái hãm phanh. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển

động chậm dần đều với vận tốc ( ) 4 20 v t t = − + (m/s) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ

lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được bao nhiêu mét?

A. 25 m. B. 50 m. C. 10 m. D. 30 m.

Lời giải:

Khi vật dừng hẳn thì ( ) 0 4 20 0 5 . v t t s = ⇒− + = ⇔=

Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian trên là: ( ) ( ) ( )

5 5

0 0 4 20 50 S t v t dt t dt = = − + = ∫ ∫ m.

Chọn A.

Ví dụ 2: Một ô tô xuất phát với vận tốc ( ) ( ) 1 2 12 / , v t t m s = + sau khi đi được khoảng thời gian 1t thì bất

ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc ( ) ( ) 2 24 6 / , v t t m s = − và đi thêm một khoảng

thời gian 2t nữa thì dừng lại. Hỏi từ khi xuất phát đến lúc dừng lại thì xe ô tô đã đi được bao nhiêu mét ?

A. 12 . m B. 156 . m C. 108 . m D. 48 . m

Lời giải:

Ta có: ( ) 02 24 / v m s = do đó khi gặp chướng ngại vật vật có vận tốc là 24 / m s

Khi đó ( ) ( ) 1 2 12 24 6 v t t t s = + = ⇔=

Vật dừng lại khi ( ) ( ) 2 2 24 6 0 4 v t t t s = − = ⇔ =

Quãng đường vật đi được là: ( ) ( ) ( ) ( )

6 4 6 4

1 2 0 0 0 0 2 12 24 6 156 . s v t dt v t dt t dt t dt m = + = + + − = ∫ ∫ ∫ ∫

Chọn B.

Ví dụ 3: Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc ( ) 0 16 / v m s = thì tăng tốc với gia tốc

( ) ( ) 2 2 3 / . a t t t m s = + Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 4s kể từ lúc bắt đầu

tăng tốc.

A. ( ) 160 . 3 m B. ( ) 352 . 3 m C. ( ) 400 . 3 m D. ( ) 250 . 3 m

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( )

3 2 2 3 3 3 2 t t v t a t dt t t dt C = = + = + + ∫ ∫

Khi đó ( ) ( )

3 2

0 3 0 16 16 3 2 t t v v C v t = = = ⇒ = + +

Khi đó quãng đường đi được bằng: ( ) ( )

4 4 3 2

0 0

3 16 3 2 t t s t v t dt dt   = = + +     ∫ ∫

( )

4 4 3

0

352 16 . 12 2 3 t t t m   + + =    

Chọn B.

Ví dụ 4: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc ( ) ( ) 1 2 / . v t t m s = Đi được 12 giây,

người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc

( ) 2 12 / . a m s = − Tính quãng đường ( ) s m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng

hẳn

A. 168 . s m = B. 166 . s m = C. 144 . s m = D. 152 . s m =

Lời giải:

Quãng đường xe đi được trong 12 s đầu là:

12

1 0 2 144 . s tdt m = = ∫

Sau khi đi được 12 s vật đạt vận tốc 24 / , v m s = sau đó vận tốc của vật có phương trình 24 12 v t = −

Vật dừng hẳn sau 2 s kể từ khi phanh.

Quãng đường vật đi được từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn là: ( )

2

2 0 24 12 24 . s t dt m = − = ∫

Vậy tổng quãng đường ô tô đi được là 1 2 144 24 168 . s s s m = + = + = Chọn A.

Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia

tốc phụ thuộc thời gian ( ) t s là ( ) ( ) 2 2 7 / . a t t m s = − Biết vận tốc ban đầu bằng ( ) 10 / , m s hỏi trong 6 giây

đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

A. ( ) 5 . s B. ( ) 6 . s C. ( ) 1 . s D. ( ) 2 . s