Một số bài toán chọn lọc về tích phân

CHỦ ĐỀ 15: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ TÍCH PHÂN

Ví dụ 1: Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 1;2 thỏa mãn

( ) ( ) ( ) 2 . . 1 f x x f x x f x ′ + = +    . Biết ( ) 1 2 f = −, tính ( ) 2 f

A. ( ) 1 2 . 2 f − = B. ( ) 1 2 . 2 f = C. ( ) 3 2 . 2 f − = D. ( ) 3 2 . 4 f − =

Lời giải:

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

2

2 2 . . . . 1 1 1 . 1 . 1

x f x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x

′   ′ +   ′ + = + ⇔ = ⇔ =     + +        

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: ( )

1 . 1 x C x f x − = + +

Thay ( ) ( ) 2 1 1 1 3 1 1 0 2 2 1 4 x C C f x f x x − − = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − −+ . Chọn D.

Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) y f x = xác định và liên tục trên đoạn [ ] 1;3 và thỏa mãn

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 3 . . . 1 1;3 x f x x f x x f x x ′ + = + ∀∈     và ( ) 2 1 3 f − = . Khi đó:

A. ( ) 0 3 1. f < < B. ( ) 1 3 3. f < < C. ( ) 3 3. f > D. ( ) 3 0. f <

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 . . 1 . 1 x f x x f x xf x x f x x f x xf x ′ ′ + = + ⇔ + = +            

( ) ( )

( )

( )

( ) 2 2 2 2 . . 1 1

1 1

x f x f x x f x

x x xf x xf x

′   ′ +   ⇔ = ⇔ = + +        

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: ( )

( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1

d xf x dx C xf x x x xf x

+   − −  = ⇒ = + + +     ∫ ∫

Lại có: ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 2 2 3 1. 1 1 1 3

f C C f − − − = ⇒ = −+ ⇒ = + = − − + +

Do đó ( )

1 1 2 . 1 x f x x = + + , thay ( ) ( ) 1 1 4 3 2 3 3. 3 1 3 21 x f f − = ⇒ = + ⇒ = + . Chọn D.

Ví dụ 3: Cho hàm số ( ) y f x = đồng biến và luôn dương trên đoạn [ ] 1;3 đồng thời thỏa mãn

( ) ( ) ( ) 2 4 2 3 f x x x f x ′ = +     , biết ( ) 1 4 f = . Khi đó

A. ( ) 0 2 3. f < < B. ( ) 3 2 5. f < < C. ( ) 5 2 9. f < < D. ( ) 2 9. f >

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 4 2 2 2 3 3 f x f x x x f x x x f x

′     ′ = + ⇒ = +    

( )

( )

2 3 f x x x f x

′ ⇔ = + (do ( ) [ ] 0 1;2 f x x > ∀∈ )

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: ( )

( )

( ) ( ) 2 2 2 1 3 2 3 3 2

d f x x x dx f x x dx x f x

   = + ⇔ = + + ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1 . 3 3 4 3 6 f x x C x C ⇔ = + + = + +

Do ( ) ( ) ( )

3 2 3 8 2 2 1 4 2 . 6 3 6 3

x f C C f x + = ⇒ = + ⇒ = ⇒ = +

( ) ( ) ( )

2 3 2 3 2 2 14,1 6 3

x f x f   +   ⇒ = + ⇒ ≈      

. Chọn D.

Ví dụ 4: Cho hàm số ( ) f x có đạo hàm xác định, liên tục [ ] 0;1 đồng thời thỏa mãn các điều kiện

( ) 0 1 f ′ = − và ( ) ( ) 2 f x f x ′ ′′ =     . Đặt ( ) ( ) 1 0 T f f = − , hãy chọn khẳng định đúng?

A. 2 1. T −≤ < − B. 1 0. T −≤ < C. 0 1. T ≤ < D. 1 2. T ≤ <

Lời giải:

Ta có: ( ) ( ) ( )

( )

2

2 1 f x f x f x f x

′′ ′ ′′ = ⇒ =     ′    

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: ( )

( ) ( ) ( ) 2 1 1 d f x dx x C f x f x x C f x

′   − −   ′ = ⇔ = + ⇒ = ′ + ′     ∫ ∫

Do ( ) 0 1 1 f C ′ = −⇒ =

Suy ra ( ) ( ) ( )

1 1

0 0

1 1 0 ln 2 1 f x dx dx f f x − ′ = ⇔ − = − + ∫ ∫ . Chọn B.

Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) f x liên tục và đồng biến trên đoạn [ ] 0;1 , biết ( ) 0 1 f = và

( ) ( ) [ ] 2 3 2 9 9 . 0;1 f x x x x f x x ′ + = + ∀∈     . Mệnh đề nào dưới đây đúng