Chủ đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

NGUYÊN HÀM

1. Định nghĩa

▪ Cho hàm số ( ) f x xác định trên K . Hàm số ( ) F x được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) F x f x  = với mọi x thuộc K .

▪ Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) f x ký hiệu là ( ) ( ) f x F x C = +  .

▪ Chú ý: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 2. Tính chất

▪ Nếu ,f g là hai hàm số liên tục trên K thì   ( ) ( ) d ( )d ( )d f x g x x f x x g x x  =     .

▪ ( )d ( )d kf x x k f x x =   (với 0 k  )  . ( ) . ( ) d ( )d ( )d k f x l g x x k f x x l g x x + = +   

▪ ( ) ( )d ( ) f x x f x C = + 

3. Công thức đổi biến số: ( ) ( ) ( ) [ ] d [ ] f u x u x x F u x C  = + 

4. Công thức nguyên hàm từng phần: d d u v uv v u = −  

5. Bảng nguyên hàm và vi phân

Hàm số sơ cấp Hàm hợp ( ) u u x = Thường gặp

d = + x x C d = + u u C Vi phân ( ) 1 d d ax b x a + =

( )

1 d 1 1

   

+ = + − + 

x x x C ( )

1 d 1 1

   

+ = + − + 

u u u C ( )

1 1 1 d ( ) 1

  

+ + =  + + + a x b x ax b C a

( ) d ln 0 = +  

x x C x x ( ) ( ) d ln 0 = +  

u u C u x u ( ) d 1 ln 0 = + +  + 

x ax b C a ax b a

cos d sin = +  x x x C cos d sin = +  u u u C 1 cos( )d sin( ) + = + +  ax b x ax b C a

sin d cos = − +  x x x C sin d cos = − +  u u u C 1 sin( )d cos( ) + = − + +  ax b x ax b C a

2 1 d tan cos = +  x x C x

2 1 d tan cos = +  u u C u

( ) ( ) 2

d 1 tan cos = + + + 

x ax b C ax b a

2 1 d cot sin = − +  x x C x

Với x k 

2 1 d cot sin = − +  u u C u

Với ( ) u x k  ( ) ( ) 2

d 1cot sin

− = + + + 

x ax b C ax b a

d = + 

x x e x e C d = + 

u u e u e C

1 d + + = + 

ax b ax b e x e C a

( ) d 0 1 ln = +   

x x a a x C a a ( ) d 0 1 ln = +   

u u a a u C a a ( ) 1 d 0 1 .ln

+ + = +   

px q px q a x a C a p a

LÝ THUYẾT

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

❖ Một số nguyên tắc tính nguyên hàm cơ bản

• Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP ⎯⎯→khai triển.

• Tích các hàm mũ PP ⎯⎯→khai triển theo công thức mũ.

• Bậc chẵn của sin hoặc PP cos ⎯⎯→hạ bậc: 2 1 1 sin 2 2 2 a cos a = − ; 2 1 1 2 2 2 cos a cos a = +

• Chứa tích các căn thức của PP x ⎯⎯→chuyển về lũy thừa.

❖ Phương pháp đổi biến số

• Nếu ( ) ( ) f x dx F x C = +  thì ( ) ( ) ( ) . f u x u x dx F u x C      = +     

• Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm ( ) I f x dx =  , trong đó ta có thể phân tích hàm số đã cho

( ) ( ) ( ) . f x g u x u x    =   thì ta thực hiện phép đổi biến đặt ( ) ( ) t u x dt u x dx  =  = . Khi đó, ta thấy

( ) ( ) ( ) I g t dt G t C G u x C   = = + = +    .

• Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay ( ) t u x = .

❖ Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ ( )

( )

P x I dx Q x =  .

• Nếu bậc của tử số ( ) P x  bậc của mẫu số ( ) Q x

PP ⎯⎯→Chia đa thức.

• Nếu bậc của tử số ( ) P x  bậc của mẫu số ( ) Q x

PP ⎯⎯→ phân tích mẫu ( ) Q x thành tích số, rồi

sử dụng phương pháp chia để đưa về công thức nguyên hàm số.

• Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP ⎯⎯→ thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa

bằng cách đặt tan X a t = , nếu mẫu đưa được về dạng

2 2 X a + .

❖ Nguyên hàm từng phần

• Cho hai hàm số u và v liên tục trên ;a b     và có đạo hàm liên tục trên ;a b    . Khi đó ta có được

( ) * udv uv vdu = −  

• Để tính nguyên hàm udv uv vdu = −   bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

• Bước 1: Chọn u , v sao cho ( ) f x dx udv = (Chú ý: ( ) dv v x dx  = và)

▪ Tính v dv =  và du u dx  = .

▪ Bước 2: Thay vào công thức ( ) * và tính vdu  .

▪ Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu  dễ

tính hơn udv  .

➢ Mẹo nhớ: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”