Chuyên đề các dạng tích phân hàm ẩn điển hình mức độ VD - VDC

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 1 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 2 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay

MỤC LỤC

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP TRANG

QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH 3

QUY TẮC ĐẠO HÀM THƯƠNG 7

ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM CHỨA CĂN 15

ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ 18

ÁP DỤNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CỦA HÀM LÔGARIT 19

ÁP DỤNG CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM KHÁC 21

DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 22

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 1 22

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 2 28

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 3 39

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 4 49

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 5 51

TÍCH PHAN HAM ẨN DỔI BIẾN DẠNG 6 53

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 55

TRƯỜNG HỢP RIÊNG 68

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 78

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Tích Phân Hàm Ẩn

ĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Trang 3 Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông ID Tik Tok: dongpay

CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐIỂN HÌNH

DẠNG 1: ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP QUY TẮC ĐẠO HÀM TÍCH Nếu ݑ= ݑ(ݔ) và ݒ= ݒ(ݔ) thì (ݑݒ)′ = ݑ′ݒ+ ݑݒ′; Nếu [݂(ݔ).݃(ݔ)]′ = ℎ(ݔ) thì ݂(ݔ).݃(ݔ) = ∫ℎ(ݔ)݀ݔ. Câu 1. Cho hàm số ݂(ݔ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn điều kiện ݂(1) = 3 và ݔ൫4 −݂′(ݔ)൯= ݂(ݔ) −1, ∀ݔ> 0. Giá trị của ݂(2) bằng A. 6. B. 5. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn B +)Từ giả thiết, ta có ݔ൫4 −݂′(ݔ)൯= ݂(ݔ) −1 ⇒ݔ݂′(ݔ) + ݂(ݔ) = 4ݔ+ 1

⇒[ݔ݂(ݔ)]′ = 4ݔ+ 1 ⇒ݔ݂(ݔ) = න(4ݔ+ 1)݀ݔ⇒ݔ݂(ݔ) = 2ݔ2 + ݔ+ ܥ.

+) Lại có݂(1) = 3 ⇒ܥ= 0 ⇒݂(ݔ) = 2ݔ+ 1 ⇒݂(2) = 5. Câu 2. Cho hàm số ݂(ݔ) có đạo hàm liên tục trên khoảng (−1; +∞) và thỏa mãn đẳng thức 2݂(ݔ) +

(ݔଶ−1)݂′(ݔ) =

௫యାଶ௫మା௫

√௫మାଷ với mọi ݔ∈(−1; +∞). Giá trị của ݂(0) bằng

A. ݂(0) = 2 −√3. B. ݂(0) = ݁−√3. C. ݂(0) = √3. D. ݂(0) = 1 −√3. Lời giải Chọn A

+) Từ giả thiết, ta có 2݂(ݔ) + (ݔ2 −1)݂′(ݔ) =

௫3ା2௫2ା௫

ඥ௫2ା3 ⇒2݂(ݔ) + (ݔ−1)(ݔ+ 1)݂′(ݔ) =

௫(௫ା1)2

ඥ௫2ା3 ⇒

2௙(௫)

(௫ା1)2 +

௫ି1

௫ା1 ݂′(ݔ) =

௫

ඥ௫2ା3 ⇒ቀ

௫ି1

௫ା1ቁ

′

݂(ݔ) +

௫ି1

௫ା1 ݂′(ݔ) =

௫

ඥ௫2ା3

⇒൬

௫ି1

௫ା1 . ݂(ݔ)൰

′

=

௫

ඥ௫2ା3 ⇒

௫ି1

௫ା1 . ݂(ݔ) = ∫

௫

ඥ௫2ା3 ݀ݔ⇒

௫ି1

௫ା1 . ݂(ݔ) = √ݔ2 + 3 + ܥ (∗) +) Lại có

(∗) thỏa mãn với mọi ݔ∈(−1; +∞) nên thay ݔ= 1 vào (∗) ta có ܥ= −2. Suy ra

௫ି1

௫ା1 . ݂(ݔ) = √ݔ2 + 3 −2.

Do đó ݂(0) = 2 −√3. Câu 3. Cho hàm số ݂(ݔ) thỏa mãn [݂′(ݔ)]ଶ+ ݂(ݔ). ݂′′(ݔ) = 4ݔଷ+ 2ݔ với mọi ݔ∈ℝ và ݂(0) = 0. Giá trị của ݂ଶ(1) bằng A.

5

2. B.

9

2. C.

16

15. D.

8

15. Lời giải Chọn C Ta có: [݂′(ݔ)]2 + ݂(ݔ). ݂′′(ݔ) = [݂(ݔ). ݂′(ݔ)]′. Từ giả thiết ta có: [݂(ݔ).݂′(ݔ)]′ = 4ݔ3 + 2ݔ Suy ra: ݂(ݔ).݂′(ݔ) = ∫(4ݔ3 + 2ݔ)݀ݔ= ݔ4 + ݔ2 + ܥ. Với ݂(0) = 0 ⇒ܥ= 0 Nên ta có: ݂(ݔ). ݂′(ݔ) = ݔ4 + ݔ2

Suy ra: ∫݂(ݔ). ݂′(ݔ)݀ݔ

1 0 = ∫(ݔ4 + ݔ2)݀ݔ

1 0 ⇔

௙2(௫)

2 ቚ

0

1

=

8

15 ⇒݂2(1) =

16

15.

Câu 4. Cho hàm số ݂(ݔ) xác định trên (1 ; +∞), thỏa mãn (ݔ−1)݂′(ݔ) + ݂(ݔ) = ݔ݁௫ା1, biết ݂(2) =

݁3. Tính ∫

௙(௫)

௘ೣdݔ 7 5 A. 4. B. 3. C. 2. D. 5. Lời giải Chọn C Ta biến đổi: (ݔ−1)݂′(ݔ) + ݂(ݔ) = ݔ݁௫ା1 (bên vế trái gợi ý ta đưa về đạo hàm (ݑ. ݒ)′).

⇒(ݔ−1). ݂′(ݔ) + (ݔ−1)′. ݂(ݔ) = ݔ. ݁௫ା1 ⇒[(ݔ−1). ݂(ݔ)]′ = ݔ. ݁௫ା1, ta lấy nguyên hàm hai vế được: