Tài liệu chuyên đề tích phân và một số phương pháp tính tích phân

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 43

BÀI 2. TÍCH PHÂN

Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên khoảng K và ,a b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F

là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số ( ) ( ) F b F a − được gọi là tích phân của hàm số

f từ a đến b và kí hiệu là ( )d

b

a f x x ∫ .

Ta gọi: a là cận dưới, b là cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, ( )d f x x là biểu thức

dưới dấu tích phân, xbiến số lấy tích phân. Nhận xét :

a) Nếu a b < thì ta gọi ( )d

b

a f x x ∫ là tích phân của f trên đoạn [ ] ; . a b

b) Hiệu số ( ) ( ) F b F a − còn được kí hiệu là ( )

b a F x . Khi đó :

( ) ( ) ( ) ( ) d .

b b a a f x x F x F b F a = = − ∫

c) Tích phân không phụ thuộc biến số (điều này sẽ mang lại lợi ích cho ta để tính một số tích

phân đặc biệt), tức là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d ... .

b b b

a a a f x x f t t f u u F b F a = = = = − ∫ ∫ ∫

Tính chất: Cho k là hằng số

[ ]

) ( ) 0 ) ( ) ( )

c) . ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

a b a

a a b

b b b b b

a a a a a

a f x dx b f x dx f x dx

k f x dx k f x dx d f x g x dx f x dx g x dx

= = −

= + = +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

e) Tính chất chèn cận: ( ) ( ) ( )

b c b

a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ (chèn cận c )

CHƯƠNG

III

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Page 44

DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN Câu 1: Tính các tích phân sau:

1 4 ln2 4 2

0 1 0 0

1 ) 3 d ) d ) 2 d ) sin d x a I x x b I x c I x d I x x x

π

= = = = ∫ ∫ ∫ ∫

Câu 2: Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) x f x e = . Tính ( ) ( ) 2 2 2 . F ln F ln −

Câu 3: Gọi ( ) F x là nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x x = thỏa điều kiện ( )1 2 F = . Tính ( ) F e .

Câu 4: Chứng minh ( ) ( ) 2 ln 1 F x x x = + + là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1

1 f x x = +

. Từ đó

tính tích phân

1

2 0

1 d . 1 I x x = + ∫

Câu 5: Chứng minh ( ) 1 ln ax b F x ad bc cx d + = − + là một nguyên hàm của hàm số

( ) ( )( ) 1 f x ax b cx d = + + . Từ đó tính tích phân ( )( )

1

0

1 d . 2 1 1 I x x x = + + ∫

DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN Câu 6: Tính các tích phân sau:

( ) ( )

1 2 3

0 1 0

1 ) 4 d ) 3 d ) sin 2cos d x x a I x e x b I x c I x x x x   = − = − = +     ∫ ∫ ∫

π

Câu 7: Tính ( )

2 2

1 1 ln d 1 ln d . x t I e x x e t t = + − ∫ ∫

Câu 8: Tính

2

2

sin ln d sin sin d . 2 2 2 t u u I t t lnu u   = + −     ∫ ∫

π π

π π

DẠNG 3: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHÈN CẬN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN

Tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối

a) Yêu cầu: Tính tích phân ( )

b

a I f x dx = ∫

b) Phương pháp: + Bước 1: Xét dấu của ( ) f x trên khoảng ( ) ;a b

- Giải phương trình ( ) ( ) 0 ; i f x x x a b = ⇔ = ∈

- Lập bảng xét dấu của ( ) f x trên khoảng ( ) ;a b

+ Bước 2: Chèn cận ix và đồng thời bỏ dấu (căn cứ vào BXD) ta được các tích phân cơ bản

( ) ( ) ( ) d d d

i

i

x b b

a a x I f x x f x x f x x = = + ∫ ∫ ∫

Chú ý: Nếu ( ) f x không đổi dấu trên đoạn [ ] ;a b thì ( ) ( ) d d

b b

a a I f x x f x x = = ∫ ∫

Câu 9: Tính các tích phân:

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II