Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Huỳnh Đức Khánh

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Baøi 01

HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC I – ĐỊNH NGHĨA 1) Hàm số sin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực sin x

sin :

sin x

x y x →

= ℝ ℝ ֏

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là sin . y x =

Tập xác định của hàm số sin là . ℝ 2) Hàm số côsin Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực cos x

cos :

cos

x

x y x

→

=

ℝ ℝ

֏

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là cos . y x =

Tập xác định của hàm số cô sin là . ℝ 3) Hàm số tang

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức ( ) sin cos 0 , cos x y x x = ≠ kí hiệu

là tan . y x =

Tập xác định của hàm số tan y x = là D \ , . 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ

4) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức ( ) cos sin 0 , sin x y x x = ≠ kí

hiệu là cot . y x =

Tập xác định của hàm số cot y x = là { } D \ , . k k π = ∈ ℝ ℤ

II – TÍNH TUẦN HO=N V= CHU KÌ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Định nghĩa Hàm số ( ) y f x = có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại

một số 0 T ≠ sao cho với mọi D x ∈ ta có: ● D x T − ∈ và D. x T + ∈ ● ( ) ( ) f x T f x + = .

CHUÛ ÑEÀ

Tác giả: Huỳnh Đức Khánh SĐT: 0975120189 Facebook: https://www.facebook.com/duckhanh0205

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó. Người ta chứng minh được rằng hàm số sin y x = tuần hoàn với chu kì 2 T π = ; hàm

số cos y x = tuần hoàn với chu kì 2 T π = ; hàm số tan y x = tuần hoàn với chu kì

T π = ; hàm số cot y x = tuần hoàn với chu kì . T π =

2) Chú ý

● Hàm số ( ) sin y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0

2 T a

π = .

● Hàm số ( ) cos y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0

2 T a

π = .

● Hàm số ( ) tan y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0 T a π = .

● Hàm số ( ) cot y ax b = + tuần hoàn với chu kì 0 T a π = .

● Hàm số ( ) 1 y f x = tuần hoàn với chu kì 1 T và hàm số ( ) 2 y f x = tuần hoàn với chu

kì 2 T thì hàm số ( ) ( ) 1 2 y f x f x = ± tuần hoàn với chu kì 0 T là bội chung nhỏ nhất của

1 T và 2 T .

III – SỰ BIẾN THIÊN V= ĐỒ THỊ CỦA H=M SỐ LƯỢNG GIÁC 1) Hàm số sin y x =

● Tập xác định D = ℝ, có nghĩa xác định với mọi ; x ∈ℝ

● Tập giá trị [ ] 1;1 T = − , có nghĩa 1 sin 1; x −≤ ≤

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , π có nghĩa ( ) sin 2 sin x k x π + = với k ∈ℤ.

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π π π   − + +      và nghịch biến trên

mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k π π π π    + +     , k ∈ℤ.

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2) Hàm số cos y x =

● Tập xác định D = ℝ, có nghĩa xác định với mọi ; x ∈ℝ

● Tập giá trị [ ] 1;1 T = − , có nghĩa 1 cos 1; x −≤ ≤

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , π có nghĩa ( ) cos 2 cos x k x π + = với k ∈ℤ.

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2 k k π π π −+ và nghịch biến trên mỗi

khoảng ( ) 2 ; 2 k k π π π + , k ∈ℤ.

● Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

3) Hàm số tan y x =

● Tập xác định D \ , ; 2 k k π π       = + ∈         ℝ ℤ

● Tập giá trị ; T = ℝ

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , π có nghĩa ( ) tan tan x k x π + = với k ∈ℤ.

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ; , ; 2 2 k k k π π π π   − + + ∈      ℤ

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

x

2 π − π −

y

2 π O 3

2

π − π 3

2

π

4) Hàm số cot y x =

● Tập xác định { } D \ , ; k k π = ∈ ℝ ℤ

● Tập giá trị ; T = ℝ

● Là hàm số tuần hoàn với chu kì , π có nghĩa ( ) tan tan x k x π + = với k ∈ℤ.

● Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ; , ; k k k π π π + ∈ℤ

● Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

x 2 π − π −

y

2 π O 3

2

π − π 3

2

π 2π − 2π