Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác cơ bản

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Loại 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số lượng giác

Với phương trình     2 .sin .sin 0    a kx b kx c thì ta đặt   sin  t kx với 1 1  t , quy về phương trình

bậc hai:   2 . . 0 sin      a t b t c t kx x

Với phương trình     2 .cos .cos 0    a kx b kx c thì ta đặt   cos  t kx với 1 1  t , quy về phương

trình bậc hai:   2 . . 0 cos      a t b t c t kx x

Với phương trình     2 .tan .tan 0    a kx b kx c thì ta đặt   tan  t kx quy về phương trình bậc hai:

  2 . . 0 tan      a t b t c t kx x . Tương tự cho phương trình ẩn   cot  t kx

Chú ý: Với phương trình bậc ba theo một hàm số lượng giác thì cách giải tương tự!

Loại 2: Phương trình nhóm nhân tử chung

Với phương trình  0  f x , bằng các kĩ thuật phân tích, các công thức lượng giác đã học ta nhóm được

nhân tử chung và quy về dạng   

0 . 0

0

     

g x g x h x

h x

II. HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau

a)   2 3 tan 1 3 tan 1 0    x x b)   2 4 2 3 1 cos 3 0     cos x x

Lời giải:

a)      2 3 tan 1 3 tan 1 0 tan 1 3 tan 1 0        x x x x

tan 1

4 1 tan

3 6

              

 

 

x x k

x x k

Vây phương trình có họ nghiệm , 4 6         x k x k ,

b)      2 4 2 3 1 cos 3 0 2cos 3 2cos 1 0         cos x x x x

3 2 cos 6 2 1 2 cos 3 2

               

 

 

x k x

x k x

Vây phương trình có họ nghiệm 2 3     x k , 2 6     x k ,

Trang 2

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau

a)   4 4 2 sin 2 0 2          

 x cos x cos x b) 6 6 sin 4   x cos x cos x

Lời giải:

a)    

2 4 4 2 2 2 2 2 sin 2 0 2 sin 2sin sin 2 0 2                     

 x cos x cos x x cos x xcos x x

  

 

2

1 2 sin 6 2 2 sin sin 2 0 sin 2 1 sin 2 2 0 5 sin 2 2 6

                       

 

 

x k x x x x x

x loai x k

Vây phương trình có họ nghiệm 5 2 6     x k , 2 6     x k ,

b)

 

2 2 2 2 2 2 2 2 3 sin 3sin 2sin 2 1 0 sin 2 2sin 2 0 4         x cos x xcos x x x x

sin 2 0 2      x x k

Vây phương trình có họ nghiệm 2  k x ,

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau

a) 4 4 1 sin sin 2 2    x cos x x b) 4 4 sin cos 1 2sin 2 2   x x x

Lời giải:

a)  

2 4 4 2 2 2 2 1 1 sin sin 2 sin 2sin sin 2 0 2 2          x cos x x x cos x xcos x x

  

2 sin 2 3 1 sin 2 0 sin 2 1 sin 2 3 0 2 2 2         x x x x

 

sin 1

2 sin 3 2

        

  x

x k x loai ,

Vây phương trình có họ nghiệm 2 2     x k ,

b)

2 4 4 2 2 2 2 sin cos 1 2sin sin 2sin 1 2sin 0 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x cos cos x             

   

2 sin 0 sin 1 sin 0 sin sin 2 0 sin 2 2 2

             

 x x x x x x k x loai ,

Vậy phương trình có họ nghiệm 2 k x   ,

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau