Tài liệu chủ đề phương trình lượng giác có chứa tham số

Trang 1

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ THAM SỐ

Trong chủ đề này có một số bài toán bắt buộc phải sử dụng đến kiến thức đạo hàm (cuối chương trình

toán 11, và khảo sát hàm số của lớp 12 để giải quyết).

Phương pháp giải toán này tác giả xin trình bày chi tiết thông qua hệ thống ví dụ cụ thể.

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m thuộc tập   E 3; 2; 1;0;1;2    để phương trình

2 2 sin cos 4cos 5    m x x x m có nghiệm?

a) 2. b) 3.

c) 4. d) 5.

Lời giải:

Phương trình tương đương với sin2 2cos2 3 m x x m   

Phương trình có nghiệm  

2 2 2 5 2 3 6 5 0 6 m m m m         

Mà   3; 2; 1 m E m    

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2 2 sin 2sin cos 3 cos 1. m x x x m x    Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình có nghiệm.

a) 4 0; . 3 m      

b) 4 \ 0; . 3 m        

c) 4 0; . 3 m      

d) 4 0; . 3 m      

Lời giải:

Phương trình 1 cos2 1 cos2 . sin2 3 . 1 sin2 cos2 1 2 2 2 x x m x m x m x m        

Phương trình có nghiệm 2 2 2 4 1 1 4 4 3 4 0 0 . 3 m m m m m m         

Chọn C.

Ví dụ 3. Cho phương trình 2

3 5 4sin 6tan 2 . sin 1 tan

x

x

           Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của 

thuộc đoạn [0;2 ]  để phương trình có nghiệm. Tổng các phần tử của tập S bằng

a) . b) 2 .

c) 4 . d) 6 .

Lời giải:

Điều kiện: sin 0

cos 0

x     

Phương trình tương đương với 4cos 3sin2 3sin2 sin 4cos 5 (1) sin

x x x x      

Trang 2

Nếu sin 0 cos : x x    không thỏa (1). Do đó phương trình nếu có nghiệm thì luôn thỏa mãn điều kiện sin 0 x 

Để phương trình có nghiệm 2 cos 0

(3sin2 ) 16 25

      

2 2 cos 0 cos 0 cos2 0 , : 4 2 sin 2 1 sin 2 1

k k                   

 thỏa điều kiện.

5 7 ; ; ; 4 4 4 4 S            

tổng 3 5 7 4 . 4 4 4 4        

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho phương trình 2 4sin .cos 3sin2 cos2 . 3 6 x x m x x                   

Gọi [ ; ] S a b  là tập tất cả

các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a + b.

a) a + b = - 2. b) 1 . 2 a b  

c) a + b = 0. d) a + b = 4.

Lời giải:

Ta có 1 sin .cos sin 2 sin 3 6 2 6 2 x x x                                 

2 2

1 1 3 1 sin2 cos sin cos2 1 sin2 cos2 1 2 6 6 2 2 2

2 3sin2 cos2 2 3sin 2 cos2 cos2 2

x x x x

m PT x x m x x x

                   

        

Phương trình có nghiệm

2

2 2 1 1 0 4 2 2 2 m m m       

 

2 2;2 0. 2

a S a b b

        

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho phương trình 6 6 sin cos 3sin cos 2 0. 4 m x x x x      Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m để phương trình có nghiệm?

a) 7. b) 9.

c) 13. d) 15.

Lời giải:

Ta có    

3 6 6 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x     

2 2 2 3 1 3sin cos 1 sin 2 4 x x x  

Phương trình 2 2 3 1 sin 2 3sin cos 2 0 3sin 2 6sin2 12 4 4 m x x x x x m         