Bài giảng một số phương trình lượng giác thường gặp

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ

BÀI GIẢNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nhận biết được các dạng phương trình lượng giác thường gặp và cách giải.

 Kĩ năng

+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.

+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Phương trình thuần nhất

Phương pháp giải

sin cos a x b x c      , \ 0 . a b

Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện

theo các bước sau

Bước 1. Kiểm tra

- Nếu 2 2 2 a b c   phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình 3sin3 cos3 2. x x  

Hướng dẫn giải

sin cos a x b x c  

2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d   

    2 2 tan cot tan cot 0 a x x b x x c     

  sin cos sin cos 0 a x x b x x c    

4 dạng phương trình lượng giác

thường gặp Đưa về phương trình tích hoặc

đánh giá bất đẳng thức, hàm số

4 phương trình lượng giác cơ bản

ĐỀ

BÀI

4 phương trình lượng giác cơ bản

Sử dụng các công thức

biến đổi lượng giác

TOANMATH.com Trang 2

- Nếu 2 2 2 a b c   khi đó phương trình có

nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2.

Bước 2. Chia hai vế phương trình cho

2 2 0 a b   ta được

  2 2 2 2 2 2 sin cos . ** a b c x x a b a b a b     

Đặt

2 2 2 2 cos ; sin , a b

a b a b      

phương trình (**) trở thành

2 2 sin .cos cos .sin c x x a b   

  2 2 sin . c x a b   

Phương trình   2 2 sin c x a b   là phương

trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải

được.

Một số dạng mở rộng:

2 2 sin cos sin a u b u a b v   

2 2 2 2 sin cos sin a b u u v a b a b     

  sin sin . u v  

2 2 sin cos cos a u b u a b v   

2 2 2 2 sin cos cos a b u u v a b a b     

  cos cos . u v  

sin cos sin cos a u b u a v b v      với

2 2 2 2 a b a b     

    sin sin . u v   

Dạng đặc biệt:

  1)sin cos 0 . 4 x x x k k       

  2)sin cos 0 . 4 x x x k k       

Ta có 3sin3 cos3 2. x x  

3 1 sin3 cos3 1 sin 3 1 2 2 6 x x x            

    2 2 3 2 . 6 2 9 3 k x k k x k                

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

  2 2 . 9 3 k x k     

TOANMATH.com Trang 3

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Giải phương trình sin 2 2cos2 1 sin 4cos . x x x x   

Hướng dẫn giải

Ta có sin 2 2cos2 1 sin 4cos x x x x   

  2 2sin cos 2 2cos 1 1 sin 4cos 0 x x x x x      

 

2 sin 2cos 1 4cos 4cos 3 0 x x x x      

    sin 2cos 1 2cos 1 2cos 3 0 x x x x      

   2cos 1 2sin 2cos 3 0 x x x     

  1 cos 2 2 3 2sin 2cos 3

x x k k

x x

            



Xét phương trình 2sin 2cos 3; x x   có   2 2 2 2 2 8 3    nên vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm   2 . 3 x k k     

Ví dụ 2. Giải phương trình 3 3sin3 3 cos9 1 4sin 3 . x x x  

Hướng dẫn giải

Ta có   3 3 3sin3 3 cos9 1 4sin 3 . 3sin3 4sin 3 3 cos9 1 x x x x x x      

 

2 18 9 sin9 3 cos9 1 sin 9 sin . 7 2 3 6 54 9

x k x x x k x k

                         



Vậy phương trình có nghiệm   2 7 2 , . 18 9 54 9 x k x k k         

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Phương trình 3sin cos 1 x x   có nghiệm là

A.

2 , . 2 6

x k k x k

         

 B.

2 2 3 , . 2 6

x k k x k

           



C. 2 , . 3 2

x k k x k

        

 D.

2 , . 2 6

x k k x k

         



Câu 2: Phương trình sin 3 cos 0 x x   có nghiệm âm lớn nhất bằng

A. . 3  B. . 6  C. 5 . 6  D. 5 . 3 