Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 - 2024 sở GDĐT Hưng Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 01 trang, gồm 04 câu)

Ngày thi thứ nhất: 28/8/2023

Câu 1: (5,0 điểm) Cho dãy số ( ) nx dương sao cho ( )

0 1

2 * 1 1 1 2 1

1

1 1, n n n

n n n

x x

n n x x x n x x x

+ − +

−

= =   +  + = ∀∈  

a) Xác định công thức số hạng tổng quát của ( ) nx .

b) Đặt

0

1 n

n i i u x e = = ∑ . Tính ( ) ( ) 1 ! lim n n u + .

Câu 2: (5,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương lẻ ( ) ,a b , 2023 ; 2 a b < thỏa mãn

2023 2 b a b +  và 2023 2 a b a +  .

Câu 3: (5,0 điểm) Tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp ( ) O , đường phân giác trong của góc  BAC cắt BC tại K . Điểm Q nằm trên đường tròn ( ) O sao cho AQ QK ⊥ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQH ∆ cắt , AC AB lần lượt tại , Y Z . Gọi T là giao điểm của BY và CZ , P là giao điểm của YZ và BC .

a) Chứng minh rằng PY BH PZ HC = .

b) Chứng minh rằng TH KA ⊥ .

Câu 4: (5,0 điểm) Cho , , 0 a b c ≥ thỏa mãn 1 ab bc ca + + = . Chứng minh rằng:

1 1 1 1 2 . a b b c c a a b c + + ≥ + + + + + +

-------- HẾT --------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………….……Số báo danh:…………………..……………….

Chữ ký cán bộ coi thi số 1: …………………; Chữ ký cán bộ coi thi số 2:………………..…………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA

NĂM HỌC 2023 - 2024

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi thứ nhất: 28/8/2023 HƯỚNG DẪN CHẤM A. HƯỚNG DẪN CHẤM - Nếu học sinh giải theo cách khác đáp án mà bài giải vẫn đúng thì giám khảo xem xét cho điểm tương ứng. - Điểm số toàn bài, mỗi câu, mỗi ý không làm tròn, giám khảo có thể thống nhất đáp án chia các ý đến 0,25 điểm. B. ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Biểu điểm

Câu 1

Cho dãy số ( ) nx dương sao cho ( )

0 1

2 1 * 1 1 2 1

1

1 1, n n n

n n n

x x

n n x x x n x x x

+ − +

−

= =   +  + = ∀∈  

a) Xác định công thức số hạng tổng quát của ( ) nx .

b) Đặt

0

1 n

n i i u x e = = ∑ . Tính ( ) ( )1 ! lim n

nu + .

a) Ta chứng minh bằng quy nạp ( ) 1 * ! nx n = 0,5

Ta có (*) đúng với 0; 1 n n = = . Giả sử (*) đúng đến , 1, k k k ≥ ∈ ( ) ( ) ( )

2 2 1 1 1 1 1 2 1

1 1 1 1 ! 1 ! 1 1 1

k k k k k k k k

k k x x x k k x k x x x x k k

+ − + + + −

+ + = ⇔ + + + =     + +

0,75

Đặt ( ) 1 1 1 ! k k y k x + + = + ta có

( ) ( )( ) ( )

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 ! k k k k k k k y y y k y y x k k k + + + + + + + = ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ = + + +

Suy ra đpcm

0,75

b) Đặt

0 lim

n

i n n i x v v e

= = ⇒ = ∑ (theo khai triển Taylor). 0,5

Ta có: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 ! 1 ! 1 !

1 ! lim lim lim

n n n n n n n v v u e e

+ + +

+   = =    

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1 !.ln lim 1 ! ln 1 1 !ln 1 ! 1 ! lim lim

n n n

n v n v n v n n e e e e

+ + − + − + + = = =

0,5

Tính ( ) ( ) lim 1 ! ln 1 n n v + − , đặt ( )

1 ln 1; 1 ! n n n a v b n = − = +

Xét thấy ( ) ( ) lim lim 0 1 ; n n n a b b = = giảm thực sự ( ) 2

0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC