Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 - 2024 sở GDĐT Kiên Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 30/8/2023

Đề thi gồm 01 trang, 04 bài

Bài 1 (5,0 điểm)

Cho dãy số (𝑥𝑥𝑛𝑛) xác định bởi 𝑥𝑥1 = 2 và 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛+ 1

𝑥𝑥𝑛𝑛 với (𝑛𝑛∈ ℕ∗).

a) Tìm: lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 √𝑛𝑛⋅

b) Tìm tất cả các số tự nhiên 𝑘𝑘 sao cho dãy số (𝑦𝑦𝑛𝑛) xác định bởi:

𝑦𝑦𝑛𝑛= ቀ 1

𝑥𝑥1 ቁ 𝑘𝑘 + ቀ 1

𝑥𝑥2 ቁ 𝑘𝑘 + ⋯+ ቀ 1

𝑥𝑥𝑛𝑛 ቁ 𝑘𝑘 với 𝑛𝑛≥1, là dãy bị chặn.

Bài 2 (5,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số 𝑓𝑓: ℝ→ℝ thoả mãn

𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥) −1) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2𝑦𝑦) −𝑓𝑓(𝑥𝑥) với mọi 𝑥𝑥, 𝑦𝑦∈ ℝ.

Bài 3 (5,0 điểm)

a) Cho 𝑝𝑝 là một số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng

(2𝑝𝑝−2 −1)𝑝𝑝(2𝑝𝑝+1 −2) −2(𝑝𝑝−1)2 + 2 chia hết cho 𝑝𝑝3. b) Cho 𝑛𝑛 là một số nguyên lớn hơn 7. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương 𝑎𝑎 sao cho 2𝑎𝑎≤𝑛𝑛 và 4𝑎𝑎2 + 𝑛𝑛 là một hợp số. Bài 4 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 (với 𝐴𝐴𝐴𝐴< 𝐴𝐴𝐴𝐴) nội tiếp đường tròn (𝑂𝑂), có 𝐼𝐼 là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn bàng tiếp góc 𝐴𝐴 của tam giác 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 có tâm là 𝐽𝐽 và tiếp xúc với đường thẳng 𝐵𝐵𝐵𝐵 tại điểm 𝐷𝐷. Gọi 𝐸𝐸, 𝐹𝐹 theo thứ tự là trung điểm của 𝐼𝐼𝐼𝐼, 𝐽𝐽𝐽𝐽. Đường tròn có đường kính là 𝐴𝐴𝐴𝐴 cắt đường tròn (𝑂𝑂) tại điểm thứ hai 𝐺𝐺 khác 𝐴𝐴. Chứng minh rằng: 𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 ෣= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ෣.

--------------------HẾT--------------------

• Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. • Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm.

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIÊN GIANG

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG QUỐC GIA

NĂM HỌC 2023-2024

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Đề thi chính thức

Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 30/8/2023 Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang

I. Hướng dẫn chung

1. Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó.

2. Nếu học sinh có sử dụng các định lý, hệ quả, các kết quả phụ trợ … phổ biến trong các chuyên đề bồi dưỡng HSG và nêu được tên thì giám khảo vẫn chấm đúng.

3. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.

II. Đáp án và thang điểm

Bài Ý Nội dung Biểu điểm 1 (5,0 đ)

a)

Bằng quy nạp, 𝑥𝑥𝑛𝑛> 0 với mọi 𝑛𝑛≥1. 0,5

Với mọi 𝑛𝑛∈ℕ∗, ta có 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 2 > 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 + 2. Từ đó bằng quy nạp ta được: 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 ≥2𝑛𝑛+ 2 với mọi 𝑛𝑛∈ℕ∗.

0,5

Do đó, 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 2 < 𝑥𝑥𝑛𝑛 2 + 2 + 1

𝑥𝑥𝑛𝑛2 ≤𝑥𝑥𝑛𝑛 2 + 2 + 1

2𝑛𝑛+2 với mọi 𝑛𝑛∈ℕ∗.

Thành thử,

𝑥𝑥𝑛𝑛 2 < 2𝑛𝑛+ 3 + ෍ 1 2𝑘𝑘+ 2

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1

0,5

Nhận xét 1.

lim 𝑛𝑛→∞ 1 𝑛𝑛൭෍ 1 2𝑘𝑘+ 2

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1 ൱= 0.

Chứng minh. Có thể sử dụng định lý trung bình Cesàro hoặc làm như sau:

෍ 1

𝑘𝑘√𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=2 < ෍2 ൬ 1

√𝑘𝑘−1

−1 𝑘𝑘൰

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=2 < 2.

Do đó

1 𝑛𝑛൭෍ 1 2𝑘𝑘+ 2

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1 ൱< 1 𝑛𝑛൭෍1 𝑘𝑘

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1 ൱

< 1

√𝑛𝑛൭1 + ෍ 1

𝑘𝑘√𝑘𝑘

𝑛𝑛

𝑘𝑘=2 ൱< 3

√𝑛𝑛→0

0,5

Trang 2/5

Lưu ý. Nếu HS không chứng minh, thì trừ 0.25 đ

Ta có lim

2𝑛𝑛+3

𝑛𝑛 = 2 và từ Nhận xét 1,

lim 1 𝑛𝑛൭2𝑛𝑛+ 3 + ෍ 1 2𝑘𝑘+ 2

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1 ൱= 2

Do đó, theo nguyên lý kẹp:

lim 𝑥𝑥𝑛𝑛 2

𝑛𝑛= 2

0,5

Bình luận. +/ Học sinh có thể chứng minh dãy tăng, không bị chặn trên để suy ra lim 𝑥𝑥𝑛𝑛= +∞ , từ đó suy ra lim(𝑥𝑥𝑛𝑛+1 2 −𝑥𝑥𝑛𝑛 2) = 2 và sử dụng định lý Stolz, sẽ ra ngay kết quả. Nếu làm đúng, vẫn cho điểm tối đa. +/ Trong chứng minh Nhận xét 1, học sinh sử dụng định lý trung bình Cesàro để suy ra ngay kết quả của Nhận xét, là được điểm tối đa.

b)

Đầu tiên ta có nhận xét 𝑥𝑥𝑛𝑛> 2 với mọi 𝑛𝑛≥1. Từ đó nếu 𝑘𝑘≥3 thì 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑘𝑘≥ 𝑥𝑥𝑛𝑛 3 và nếu 𝑘𝑘≤2 thì 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑘𝑘≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛 2. 0,25

Xét 𝑘𝑘≥3. Theo ý a), 𝑥𝑥𝑛𝑛

2 ≥2𝑛𝑛+ 3 > 𝑛𝑛+ 1 nên 𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑘𝑘≥(𝑛𝑛+ 1)√𝑛𝑛+ 1 . Thành thử

𝑦𝑦𝑛𝑛≤1 𝑥𝑥1 3 + 1 𝑥𝑥2 3 + ⋯+ 1 𝑥𝑥𝑛𝑛3 < 1

2√2

+ ⋯+ 1

𝑛𝑛√𝑛𝑛 < 2

(xem chứng minh trong a)). Vậy dãy (𝑦𝑦𝑛𝑛) bị chặn khi 𝑘𝑘≥3.

1,25

Xét 𝑘𝑘≤2. Ta có thì 𝑥𝑥𝑛𝑛

𝑘𝑘≤ 𝑥𝑥𝑛𝑛

2 nên

𝑦𝑦𝑛𝑛> 1 𝑥𝑥1 2 + ⋯+ 1 𝑥𝑥𝑛𝑛2.

Mặt khác, theo a), ta có

𝑥𝑥𝑛𝑛 2 < 2𝑛𝑛+ 3 + ෍ 1 2𝑘𝑘+ 2

𝑛𝑛−1

𝑘𝑘=1 < 2𝑛𝑛+ 3 + 𝑛𝑛 4 < 6𝑛𝑛.

Thành thử:

𝑦𝑦𝑛𝑛> 1 6 ൬1 1 + 1 2 + ⋯+ 1 𝑛𝑛൰.

0,5

Nhận xét 2. Dãy (ℎ𝑛𝑛) với

ℎ𝑛𝑛= 1 1 + ⋯+ 1 𝑛𝑛

không bị chặn. Thật vậy, nếu (ℎ𝑛𝑛) bị chặn thì (ℎ𝑛𝑛) có …