Đề học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2023 - 2024 sở GDĐT Đồng Nai

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2023-2024

ĐỀCHÍNH THỨC Môn Toán Thời gian làm bài 180 phút Ngày thi: 19/01/2024 (đềthi gồm một trang có mười câu).

Câu 1. (2,5 điểm) Tìm tọa độhai điểm cực trịcủa đồthịhàm sốy = x3 −3x2 + 9 và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trịđó. Câu 2. (2,5 điểm) Tìm nghiệm dương nhỏnhất của phương trình 2 sin2 x−sin 2x+sin x−cos x−1 = 0.

Câu 3. (2 điểm) Cho một tấm bìa là nửa hình tròn tâm S đường kính AA′. Trên đoạn AA′ lần lượt lấy các điểm B, C, D, D′, C′, B′ thỏa mãn AB = BC = CD = DS = SD′ = D′C′ = C′B′ = B′A′, gọi O là trung điểm của SD. Lần lượt vẽcác nửa đường tròn tâm O đường kính DS, CD′, BC′, AB′. Dán hai bán kính SA với SA′ sao cho A trùng A′, B trùng B′, C trùng C′, D trùng D′ đểtạo thành hình nón đỉnh S mà trên mặt xung quanh có đường xoắn ốc từA đến S gồm các cung tròn đi qua A, B, C, D, S (như hình vẽminh

họa). Tính độdài đường xoắn ốc, biết thểtích khối nón bằng 64. √

3 .π 3 ·

Câu 4. (2 điểm) Cho hàm sốf(x) = ln 2024x

x + 2

· Tìm đạo hàm f ′(x) của hàm sốđã cho. Chứng

minh f ′(1) + f ′(2) + f ′(3) + ... + f ′(2024) < 3

2·

Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình lăng trụABC.A′B′C′ có diện tích tam giác ABC′ bằng 9a2, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng A′B′ và BC′ bằng 2a, với a > 0. Tính theo a thểtích của khối lăng trụ ABC.A′B′C′. Câu 6. (2 điểm) Hỏi có bao nhiêu cách sắp 6 quyển sách khác nhau vào 3 ngăn tủkhác nhau sao cho mỗi ngăn tủcó ít nhất một quyển sách? (Biết mỗi ngăn tủcó thểchứa được từ1 đến 6 quyển sách và không kểthứtựcác quyển sách trong mỗi ngăn tủ). Câu 7. (1 điểm) Chứng minh C n 2n là sốchẵn, với mọi sốnguyên dương n.

Câu 8. (2 điểm) Giải hệphương trình

( x3 −y3 −3(2x2 −y2 + 2y) + 15x −10 = 0

x2 + p

x + y −1 = √

2 −x (với x, y ∈R).

Câu 9. (2 điểm) Cho ba sốthực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức P = (a3 +2)(b3 +2)(c3 +2). Câu 10. (1,5 điểm) Cho hàm sốf : Q →Q thỏa mãn f(f(2a) + f(b)) = 2a + b, với mọi sốhữu tỷ a, b (ký hiệu tập hợp các sốhữu tỷlà Q). Chứng minh f là hàm sốlẻ. HẾT Thí sinh không được sửdụng máy tính cầm tay. Họvà tên thí sinh: ............. Sốbáo danh: .... Trường: ...

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu Ý Nội dung Điểm 1. Tìm tọa độhai điểm cực trịvà tính khoảng cách: 2,50 Ta có y = x3 −3x2 + 9, gọi đồthịlà (C), tập xác định D = R. y′ = 3x2 −6x. 0,75

y′ = 0 ⇔

" x = 0

x = 2. 0,25

Mà y′′ = 6x −6 ⇒y′′(0) = −6 < 0 và y′′(2) = 6 > 0. 0,50 Vậy (C) có hai điểm cực trịlà (0 ; 9), (2 ; 5). 0,50 Nên khoảng cách giữa hai điểm cực trịbằng p

(2 −0)2 + (5 −9)2 = 2. √

5 . 0,50 2. Tìm nghiệm dương nhỏnhất: 2,50 Ta có 2 sin2 x −sin 2x + sin x −cos x −1 = 0 ⇔sin 2x + cos 2x = sin x −cos x 0,50

⇔ √

2 sin 2x + π

4

= √

2 sin x −π

4

⇔sin 2x + π

4

= sin x −π

4

1,00

⇔



 x = −π

2 + k2π

x = π

3 + k2π

3

(∀k ∈Z). 0,50

Vậy nghiệm dương nhỏnhất của phương trình đã cho là x = π

3 · 0,50

3. Tính độdài đường xoắn ốc: 2,00

Đặt SA = R ⇒l = R là đường sinh và gọi r là bán kính đáy của hình nón.

⇒Chu vi đường tròn đáy của hình nón là 2πr = 1

2 · 2πR ⇔r = R

2 ·

0,50

⇒Hình nón có chiều cao h = √

l2 −r2 = R. √

3 2

nên có thểtích V = 1

3 · πR2

4 · R. √

3 2 = 64. √

3 .π 3 ⇔R = 8.

1,00

⇒AB = BC = CD = DS = 2 ⇒OD = 1, OC = 3, OB = 5, OA = 7. Vậy độdài đường xoắn ốc bằng tổng độdài các nửa đường tròn tâm O đường kính DS, CD′, BC′, AB′ bằng π(OD + OC + OB + OA) = 16π.

0,50

4. Tìm đạo hàm f ′(x) và chứng minh f ′(1) + f ′(2) + f ′(3) + ... + f ′(2024) < 3

2: 2,00

f(x) = ln 2024x

x + 2

⇒f ′(x) = 1 2024x

x + 2

2024x

x + 2

′ = 2 x(x + 2) (x > 0 V x < −2). 1,00

Vậy f ′(1) + f ′(2) + f ′(3) + ... + f ′(2024)

= 2 1

1.3 + 1

3.5 + ... + 1 2023.2025

+ 2 1

2.4 + 1

4.6 + ... + 1 2024.2026

= 1

1 −1

3 + 1

3 −1

5 + ... + 1 2023 − 1 2025

+ 1

2 −1

4 + 1

4 −1

6 + ... + 1 2024 − 1 2026

= 1 − 1 2025 + 1

2 − 1 2026 < 1 + 1

2 = 3

2·

1,00

Trang 1