Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2023 - 2024 sở GDĐT An Giang

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

Khóa ngày 13/4/2024 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn : TOÁN

(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1: (3,0 điểm) Cho bảng các tích của 𝑚 số lẻ và 𝑛 số chẵn. Tính tổng của các tích trong bảng sau

1 3 5 … 2𝑚−1 2 2 6 10 … 4𝑚−2 4 4 12 20 … 8𝑚−4 . .

. .

. . 2𝑛 2𝑛 6𝑛 10𝑛 … 2𝑛(2𝑚−1)

Câu 2: (3,0 điểm) Cho cấp số cộng có 20 số hạng 𝑎1; 𝑎2; … ; 𝑎20. Đặt 𝐴= 𝑎1 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎19 và 𝐵= 𝑎2 + 𝑎4 + ⋯+ 𝑎20. Biết 𝐵−𝐴= 110; √𝐵−√𝐴= √10. Tìm số hạng đầu tiên và số hạng thứ 20 của cấp số.

Câu 3: (2,0 điểm) Một hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷. 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có ba kích thước là 𝐴𝐵= 1𝑐𝑚; 𝐴𝐷= 2 𝑐𝑚; 𝐴𝐴′ = 2𝑐𝑚 và đường chéo 𝐷𝐵′. Tìm các đường đi ngắn nhất để một con chuột bò trên các cạnh hoặc đường chéo, xuất phát từ đỉnh 𝐴 đi qua tất cả các đỉnh đúng một lần và kết thúc tại đỉnh 𝐶′.

Câu 4: (2,0 điểm) Cho tứ diện 𝑂𝐴𝐵𝐶 có 𝑂𝐴; 𝑂𝐵; 𝑂𝐶 đôi một vuông góc nhau, 𝑂𝐴= 𝑎; 𝑂𝐵= 𝑏; 𝑂𝐶= 𝑐. Gọi 𝑀, 𝑁 là trọng tâm của các tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝑂𝐵𝐶. Tính độ dài đoạn 𝑂𝑀, 𝐴𝑁 theo 𝑎, 𝑏, 𝑐.

Câu 5: (2,0 điểm) Người ta dùng bốn màu: Xanh, Đỏ, Tím, Vàng để sơn 15 thanh chắn lắp song song và cách đều nhau của một ngôi trường mẫu giáo. Hỏi có bao nhiêu cách sơn sao cho hai thanh kề nhau thì khác màu và hai thanh đối xứng nhau qua thanh chính giữa thì cùng màu?

Câu 6: (2,0 điểm) Một con cào cào nhảy ngẫu nhiên trên bốn chiếc lá. Trong mỗi lượt, xác suất để cào cào nhảy tới mỗi chiếc lá trong ba chiếc lá còn lại đều bằng

1

3. Tính xác suất để con cào cào qua bốn lần nhảy quay trở lại vị trí ban đầu?

Câu 7: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (𝐸):

𝑥2

25 +

𝑦2

16 = 1 và điểm 𝑀(2; 1). Viết phương trình đường thẳng (𝑑) đi qua điểm 𝑀 cắt (𝐸) tại hai điểm 𝐴, 𝐵 sao cho trung điểm của đoạn thẳng 𝐴𝐵 nằm trên đường thẳng (∆): 𝑦 = 2𝑥.

Câu 8: (2,0 điểm) Tính 3𝑎+ 5𝑏 với 𝑎, 𝑏 là hai số dương thỏa mãn:

log𝑎+2𝑏+1(𝑎2 + 𝑏2 + 1) + log2𝑎𝑏+1(𝑎+ 2𝑏+ 1) = 2

Câu 9: (2,0 điểm) Cho đa thức 𝑃(𝑥) = 𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑥+ 𝑎0 (𝑛≥2). Biết 𝑃(1) = 2; 𝑃(2) = 3;…; 𝑃(𝑛−1) = 𝑛; 𝑃(𝑛) = 1. Tính 𝑎0.

---------HẾT--------- (Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài)

Họ và tên thí sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh. . . . . . . . . . . . .

2

ĐÁP ÁN Chú ý: + Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. + Điểm có thể chia nhỏ đến 0,25 theo sự thống nhất trước khi chấm.

Câu Lược giải Điểm

Câu

1

Tống hàng thứ nhất

2(1 + 3 + ⋯+ 2𝑚−1) = 2𝑚2 Tổng ở hàng thứ hai

4(1 + 3 + ⋯+ 2𝑚−1) = 4𝑚2 … Tổng ở hàng thứ 𝑛 là

2𝑛(1 + 3 + ⋯+ 2𝑚−1) = 2𝑛. 𝑚2 Tổng các tích trong bảng 𝑆= 2𝑚2 + 4𝑚2 + ⋯+ 2𝑛. 𝑚2 =

= 2𝑚2(1 + 2 + ⋯+ 𝑛) = 2𝑚2 𝑛(𝑛+ 1)

2 = 𝑛(𝑛+ 1)𝑚2.

3,0đ

Câu

2

𝐴= 𝑎1 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎17 + 𝑎19 và 𝐵= 𝑎2 + 𝑎4 + ⋯+ 𝑎18 + 𝑎20. Điều kiện: 𝐴; 𝐵≥0; 𝐵−𝐴= 110 ⇔(√𝐵+ √𝐴)(√𝐵−√𝐴) = 110

√𝐵+ √𝐴= 110

√10

= 110

10 √10 = 11√10

{√𝐵+ √𝐴= 11√10

√𝐵−√𝐴= √10

⇔{√𝐴= 5√10

√𝐵= 6√10

⇔{𝐴= 250

𝐵= 360

Mặt khác

𝐴= 𝑎1 + (𝑎1 + 2𝑑) + ⋯+ (𝑎1 + 18𝑑) = 10𝑎1 + (2 + 4 + ⋯+ 18)𝑑

= 10𝑎1 + 90𝑑 𝐵= (𝑎1 + 𝑑) + (𝑎1 + 3𝑑) + ⋯+ (𝑎1 + 19𝑑) = 10𝑎1 + 100𝑑

{ 10𝑎1 + 90𝑑= 250

10𝑎1 + 100𝑑= 360 ⇔{𝑎1 = −74

𝑑= 11

Vậy số hạng đầu tiên của cấp số là −74, số hạng thứ 20 là 135.

3,0 đ

Câu

3

Khối hộp có ba kích thước 1 𝑐𝑚, 2𝑐𝑚, 2𝑐𝑚 nên độ dài đường chéo 𝐷𝐵’ = 3𝑐𝑚. Xuất phát từ A ta có

𝐴→𝐵

→𝐶→𝐷→𝐵′ →𝐴′ −𝐷′ →𝐶′: độ 𝑑à𝑖 11𝑐𝑚 →𝐶→𝐷→𝐷′ →𝐴′ →𝐵′ −𝐶′: độ 𝑑à𝑖 11𝑐𝑚 →𝐵′ →𝐴′ →𝐷′ →𝐷→𝐶→𝐶′: độ 𝑑à𝑖 11 𝑐𝑚

𝐴→𝐷→𝐷′ →𝐴′ →𝐵′ →𝐵→𝐶→𝐶′: độ 𝑑à𝑖 13𝑐𝑚

→𝐶→𝐵→𝐵′ →𝐴′ →𝐷′ →𝐶′: độ 𝑑à𝑖 11𝑐𝑚

𝐴→𝐴′ →𝐵′ →𝐵→𝐶→𝐷→𝐷′ →𝐶′: độ 𝑑à𝑖 15 𝑐𝑚

→𝐷′ →𝐷→𝐵′ →𝐵→𝐶→𝐶′: độ 𝑑à𝑖 15 𝑐𝑚

Vậy các đoạn đi đường ngắn nhất có độ dài 11 cm là 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵′𝐴′𝐷′𝐶′; 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐷′𝐴′𝐵′𝐶′; 𝐴𝐵𝐵′𝐴′𝐷′𝐷𝐶𝐶′; 𝐴𝐷𝐶𝐵𝐵′𝐴′𝐷′𝐶′.

2,0 đ

Câu

4

Gọi 𝐷 là giao điểm của 𝐴𝑀 và 𝑂𝑁. 𝐴𝐷; 𝑂𝐷 là đường trung tuyến của các tam giác 𝐴𝐵𝐶, 𝑂𝐵𝐶.

𝐷𝑀

𝐷𝐴= 1

3 = 𝐷𝑁

𝐷𝑂= 𝑀𝑁

𝐴𝑂

⇒𝑀𝑁 song song 𝐴𝑂 𝑣à 𝑀𝑁= 1

3 𝑎

Mặt khác 𝑀𝑁⊥(𝑂𝐵𝐶) do 𝑀𝑁 song song AO Tam giác 𝑂𝐵𝐶 vuông, 𝑂𝐷 là trung tuyến

⇒𝑂𝑁= 2

3 𝑂𝐷= 2

3 (1

2 𝐵𝐶) = 1

3 √𝑏2 + 𝑐2

2,0 đ