Đề thi HSG cấp trường Toán 11 năm 2020 - 2021 trường Cẩm Xuyên - Hà Tĩnh

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN

TỔ: TOÁN – TIN KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2020 – 2021

MÔN TOÁN LỚP 11 (Thời gian làm bài : 150 Phút)

(Đềcó 8 câu )

Câu 1. (4.5 điểm) Giải các phương trình sau:

a) sin 2 cos 0 x x   . b) 2 3sin 2 2cos 3 x x   . c) 2 2 3 4 70 x x x C A     .

Câu 2. (3.0 điểm)

a) Tìm hệ số của 8x trong khai triển nhị thức Niutơn

13 2 3 2x x       

.

b) Cho hai đường thẳng song song 1 2 , d d . Trên 1d lấy 6 điểm phân biệt và trên 2 d lấy 8 điểm phân biệt. Hỏi từ 14 điểm đã cho tạo được bao nhiêu tam giác?

Câu 3. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng Δ : 2 3 6 0 x y    . Gọi Δ' là ảnh của Δ qua

phép tịnh tiến theo vectơ   1;3 u 



. Tính diện tích tứ giác được tạo thành bởi hai đường thẳng Δ,Δ' và hai trục tọa độ.

Câu 4. (1.5 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , M N lần lượt là trung

điểm , SB SD . Tìm giao điểm P của đường thẳng SC với mặt phẳng   AMN và tính tỉ số SP

SC .

Câu 5. (2.0 điểm) Tìm m để phương trình :   sin3 2sin2 5 4 sin 0 x x m x     có đúng ba nghiệm thuộc

khoảng π ;π 2       .

Câu 6. (4.0 điểm)

a) Gọi T là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số

0,1,2,3,4,5,6,7,8. Chọn ngẫu nhiên một số từ T , tính xác suất để số đó chia hết cho 9.

b) Tính tổng: 1 1 1 1 ... 2!.2019! 4!.2017! 6!.2015! 2020! S      .

Câu 7. (2.0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và các cạnh bên đều bằng a . Gọi M là trung điểm của SB . Gọi  P là mặt phẳng chứa CM và song song với SA. Tính theo a diện

tích thiết diện tạo bởi  P và hình chóp .S ABCD .

Câu 8. (1.5 điểm) Cho , , A B C   0 90 C  là ba góc của tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức:

2 2 2cos 2sin 1 sin 1 A B P C     .

-----HẾT-----

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: …………………………...…………………………Số báo danh: .............

TRƯỜNG THPT CẨM XUYÊN

TỔ: TOÁN – TIN

KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021

Đáp án môn: Toán 11 Thời gian làm bài 150 phút

Câu Nội dung Điểm

Câu 1a (1.5 điểm)

Giải các phương trình sau:

a)   sin 2 cos 0 cos 2sin 1 0 x x x x      0,5

2π cos 0 π 2π 1 6 sin 2 5π 2π 6

x k x

x k x

x k

                  

. Vậy ….. 1,0

Câu 1b (1.5 điểm)

b)

2 3sin2 2cos 3 3sin2 cos2 2 x x x x      0,5

sin 2 1 2 2 6 6 2 6 x x k x k                   

. Vậy…. 1,0

Câu 1c (1.5 điểm)

c) 2 2 3 4 70 x x x C A     ĐK: , 1 x x    .

     

2 2 3

2 ! 3 ! 4 70 4 70 2!. ! 1 !

x x x

x x C A x x  

       

     2 2 1 3 2 70 x x x x        0,5   

2 8 72 0

9

x Tm x x

x L

      

. Vậy…. 0,5

Câu 2a (1.5 điểm)

Tìm hệ số của 8x trong khai triển nhị thức Niutơn

13 2 3 2x x       

.

Số hạng tổng của khai triển

13 2 3 2x x       

là:   13 26 3 1 132 3 . k k k k k T C x     0,5

Hệ số của 8 x tương ứng với 26 3 8 6 k k     0,5

Vậy Tìm hệ số của 4x trong khai triển đã cho là 6 7 6 13.2 .3 C . 0,5

Câu 2b 1.5 điểm

Cho hai đường thẳng song song 1 2 , d d . Trên 1d lấy 6 điểm phân biệt và trên

2 d lấy 8 điểm phân biệt. Hỏi từ 14 điểm đã cho tạo được bao nhiêu tam giác?

TH1: Hai đỉnh thuộc 1 d và một đỉnh thuộc 2 d có 2 1 6 8 . C C tam giác. 0,5

TH2: Hai đỉnh thuộc 2 d và một đỉnh thuộc 1 d có 1 2 6 8 . C C tam giác. 0,5

Vậy có 2 1 1 2 6 8 6 8 . . 288 C C C C   tam giác. 0,5

Câu 3 1.5 điểm

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng Δ : 2 3 6 0 x y    . Gọi Δ' là ảnh

của Δ qua phép tịnh tiến theo vectơ   1;3 u 



. Tính diện tích tứ giác được tạo thành bởi hai đường thẳng Δ,Δ' và hai trục tọa độ.

2,0