Đề HSG cấp trường Toán 11 năm 2020 - 2021 trường Yên Phong 2 - Bắc Ninh

1

Họ và tên thí sinh: ……………………………………………….………. Số báo danh: ……………………….. Câu 1: (4,0 điểm)

1) Cho hàm số 2 2 3 y x x = + − (*) và đường thẳng : 2 4 d y mx = − . Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (*). Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1 2 ; x x thỏa mãn 1 2

2 1

6 1 1 x m x m x x + + + = − − − .

2) Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC . Ta xây dựng dãy các tam giác

1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , ,... A B C A B C A B C sao cho 1 1 1 A B C là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương 2 n ≥ , tam giác n n n A B C là tam giác trung bình của tam giác 1 1 1 n n n A B C − − −. Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu n S tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác n n n A B C . Tính tổng 1 2 ... ... n S S S S = + + + + Câu 2: (4,0 điểm)

1) Giải phương trình ( ) 1 sinx cos2x sin 1 4 cosx 1+tanx 2

x π   + + +    = .

2) Giải hệ phương trình

2 2 4 8 17 1

21 1 2 4 3

x x x y y

x y y y x

+ + + + = + +  + + + + = −  .

Câu 3: (4,0 điểm)

1) Tìm giới hạn

2 3

x 0

(x 2021) 1 2x 2021 4x 1 lim x →

+ − − + .

2) Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn ( )

1

1

16

15 . 1 14 , 1 1

n n

u

n u u n n +

=  +  + = ∀≥  + 

. Tìm lim

2021

n

n nu .

Câu 4: (4,0 điểm)

1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó có ba chữ số chẵn và ba chữ số lẻ? Trong các số trên có bao nhiêu số mà các chữ số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần?

2) Xác định số hạng chứa x28 khi khai triển ( )

2 2 3 1

n x x x − + − thành đa thức, biết rằng

10 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 2 2 2

3 1 2 2 ... 2 4

n n n n n n C C C C − − − + + + + = .

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 (Đề có 02 trang)

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Thi ngày: 10/3/2021

2

Câu 4: (4,0 điểm) 1) Trong hệ tọa độ , Oxy cho hình thoi ABCD cạnh AC có phương trình là: 7 31 0, x y + − = hai đỉnh , B D lần lượt thuộc các đường thẳng 1 : 8 0, d x y + − = 2 : 2 3 0 d x y − + = . Biết rằng diện tích hình thoi bằng 75, đỉnh A có hoành độ âm. Tìm toạ độ các đỉnh hình thoi.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn 2 BC a = đáy bé , AD a = AB b = . Mặt bên SAD là tam giác đều, M là một điểm di động trên AB, mặt phẳng ( ) P đi qua M và song song với SA, BC.

a) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi ( ) P . Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và ( ) , 0 . x AM x b = < < Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn nhất.

============= Hết =============

Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 1

SỞ GD-ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 (HDC có 05 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán – Lớp 11 Câu Nội dung Điểm Câu 1 1 Lập bảng biến thiên và vẽ (P): 2 2 3 y x x = + −.

Ta có đỉnh ( ) 1; 4 I −− . Ta có bảng biến thiên: - đồ thị là parabol có bề lõm hướng lên có trục đối xứng là đường thẳng 1 x = −. - cắt trục hoành tại điểm ( ) ( ) 1;0 ; 3;0 − cắt trục tung tại điểm ( ) 0; 3 − . Ta có đồ thị của hàm số:

1.0

Đk: 1 2 1, 1 x x ≠ ≠

Xét phương trình hoành độ giao điểm ( ) 2 2 2 3 2 4 2 1 1 0 x x mx x m x + − = − ⇔ − − + = (1)

d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ 1 2 ; x x ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm

phân biệt 1 2 , 1 x x ≠

( ) ( )

2 2 1 1 0 2 2 0

0 4 2 0 1 2 1 1 0

m m m m m m m

′ ∆= − −> >  − >   ⇔ ⇔ ⇔    < − ≠ − − + ≠   

( ) ( )

2 2 1 1 0 2 2 0

0 4 2 0 1 2 1 1 0

m m m m m m m

′ ∆= − −> >  − >   ⇔ ⇔ ⇔    < − ≠ − − + ≠    .

Khi đó theo định lí viet ta có ( ) 1 2

1 2

2 1

. 1

x x m

x x

 + = −  = 

( )( ) ( )

2 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2

1 2 6 6 1 1 1

x x m x x m x m x m x x x x x x

+ + − + − + + + = −⇔ = − − − − + +

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

2 2

2 1 2 4 1 2 2 1 2 6 6 1 1 2 1 1

7 6 1 …