Đề thi học sinh giỏi cấp trường Toán 10 năm 2020 - 2021 trường chuyên Bắc Ninh

SỞGD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ——————– (Đềthi gồm 1 trang)

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI : Toán 10 Thời gian làm bài 180 phút (không kểthời gian phát đề)

Bài 1 (4.0 điểm) Giải hệphương trình:

( (x + 1) p

y2 + y + 2 + (y −1) √

x2 + x + 1 = x + y (x2 + x) p

x −y + 3 = 2x2 + x + y + 1

Bài 2 (4 điểm) Cho a, b, c là các sốthực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc

Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức P = a2

b(a2 + 2) + b2

c(b2 + 2) + c2

a(c2 + 2)

Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC với O, I theo thứtựlà tâm đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác.Chứng minh rằng d AIO ≤90◦khi và chỉkhi AB + AC ≥2BC

Bài 4 (4 điểm)

a.Tìm tất cảcác sốtựnhiên n sao cho 19.8n + 17 là sốnguyên tố.

b.Cho 2020 sốnguyên dương a1, a2, a3, ..., a2020 và sốnguyên a > 1 sao cho a chia hết cho a1, a2, a3, ..., a2020. Chứng minh rằng a2021+a−1 không chia hết cho (a+a1−1)(a+a2−1)...(a+a2020−1).

Bài 5 (4 điểm) Cho các sốnguyên dương được viết vào 441 ô của bảng vuông 21x21.Mỗi hàng và mỗi cột có nhiều nhất 6 giá trịkhác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một sốnguyên có mặt ởít nhất 3 cột và ít nhất 3 hàng.

—————HẾT—————