Đề Olympic Toán 10 năm 2020 - 2021 liên cụm trường THPT - Hà Nội

Bài 1. (5 điểm)

1. Tìm tham số ,b csao cho hàm số

2 ( ) y f x x bx c     có đồ thị là một đường parabol

với đỉnh là ( 2;5). I 

2. Lập bảng biến thiên của hàm số 3 2 4 . y x x    Từ đó hãy tìm tham số m sao cho

phương trình 2 4 x x m    có nghiệm duy nhất.

Bài 2. (4 điểm)

1. Giải phương trình 2 4 1 2 1 ( 1)( 2 1 1). x x x x    

2. Biết

2 ( ) 2 0, . f x x mx n x      Tìm tham số , m n để biểu thức

5 P m n n    đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3. (2 điểm)

Giải hệ phương trình

2 2 3 . 2 2 3

x y

x y

      

Bài 4. (8 điểm)

1. Cho hình chữ nhật ABCD với 3 2, 3. AB AD   Gọi O là giao điểm của hai đường

chéo AC và BD, I và G lần lượt là trung điểm của CD và OB.

a) Chứng minh rằng 1 ( ) 4 OG AB AD   và 1 3 . 4 4 IG AB AD  

b) Chứng minh rằng . AI IG 

c) Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2 2 37. MA MB MC MD    

2. Cho tam giác ABC có 0 , 60 . BC a BAC   Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM

và CN vuông góc với nhau tại trọng tâm G. Tính theo a diện tích tam giác ABC.

Bài 5. (1 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3 và độ dài 3 cạnh của tam giác là a, b, c.

Chứng minh rằng

3 3 3 4( ) 15 27. a b c abc    

…………………HẾT …………………

Họ và tên thí sinh:…………………………………………….SBD:………………

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN  CẦU GIẤY

MÊ LINH  SÓC SƠN

ĐÔNG ANH

ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2020-2021

MÔN TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN 10

KÌ THI OLYMPIC LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN-CẦU GIẤY,

MÊ LINH-SÓC SƠN, ĐÔNG ANH HÀ NỘI

Năm học: 2020-2021

…………o0o………..

Bài Đáp án Điểm

Bài 1

(5 đ)

1.1. Vì parabol có đỉnh ( 2;5) I  nên 2 2

b 

1,0

và ( 2) 5 f   (hoặc 5 4a ) 1,0

Khi đó: 4 4 2 5 b

b c      

0,75

4. 9 b c

   

Vậy b=4, c=9. 0,75

1.2. Ta có: 3 2 4 khi 2 3 7 khi 2 3 2 4 . 3 4 2 khi 2 1 khi 2 x x x x x y x x x x x x x                     

0,5

-Hàm số đồng biến trên khoảng (2; ),  hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;2). 

0,5

-BBT

-1

2 +∞

+∞ +∞

-∞

y

x

-Ta có: 3 2 4 3, PT x x m      từ BBT ta thấy PT có nghiệm duy nhất

3 1 2. m m   

0,5

2.1. ĐK: 1. 2 x 

PT 2 1( 2 1 1) ( 1)( 2 1 1) x x x x      

0,5

( 2 1 1)( 2 1 1) 0 x x x      0,5

+) 2 1 1 0 2 1 1 2 1 1 1( ). x x x x TM      0,5

+) 2 1 0 2 1 1 0 2 1 1

2 1 ( 1)

x x x x x

x x

         

0,5

Bài 2

(4đ)

2

1 1 4( ). 0 4 0 4

x x x TM x x x x

                    

Vậy:   1;4 . x

0,5

2.2. Vì ( ) 0, f x x   và hệ số a=1>0 nên 2 2 ' 0 . m n n m     0,5

Ta có: 2 5 5 P m n n m m m       0,25

Ta lại có: 2 2 2 5 4 4 ( ) 4 ( 2) ( ) 4 m m m m m m m m m m             0,25

Vì 2 ( 2) 0 m   0,25

và 0 4. m m m m P       Dấu “=” khi

2

2 2 0 . 4

m m m n n m

           

Vậy Min 4 P  khi 2& 4. m n  

0,25

Bài 3

(2đ)

ĐK: 2. x 

Ta có: 2 3 2 x y   

0,5

2

2

3 3 2 0

2 2 (3 2 ) 4 12 7

y y

x y x y y

                 

0,5

Thế x theo y vào PT còn lại ta được:

2 2 2 2 4 12 7 2 3 2 12 10 0 6 5 0 y y y y y y y           

0,5

1 ( ) 5( ) y TM y KTM     

. Với y=1 thì 1. x  Vậy ( ; ) ( 1;1). x y  0,5

4.1a.

3

3 2

I

G O

A

D C

B

-Ta có: 1 1 ( ). 4 4 OG DB AB AD    1

-Ta có: IG IO OG   1 1 2 4 AD DB    1