Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 10 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021

Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN - KHỐI: 10

THỜI GIAN: 180 phút Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi tờ giấy thi.

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1. (3,0 điểm) Cho , , a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2.

Chứng minh

3 3 3

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3. 6 a b c abc a b b c c a           

Câu 2. (4,0 điểm) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn

2

2

2

1 1

1 1

1 1.

x y

y z

z x

          

Chứng minh x y z   là số nguyên.

Câu 3. (4,0 điểm) Với số nguyên dương 2, n  xét bảng vuông gồm có    2 1 2 1    n n ô vuông, người

ta viết vào mỗi ô chỉ một trong 3 số 1, 0 hoặc 1  sao cho trong mỗi bảng con 2 2  luôn tìm được 3 ô có tổng bằng 0. Gọi n S là giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trong bảng. Chứng minh

a. 2 5. S 

b. 2 1. n S n n   

Câu 4. (4,0 điểm)

a. Chứng minh tồn tại 2 cặp số ( , ) a b với a, b là các số nguyên dương thỏa mãn

2 2 9 3 7 a b   . b. Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình

2 2 7n x y xy   

có nghiệm trong tập số nguyên không chia hết cho 7.

Câu 5. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC   AB AC  nội tiếp đường tròn ( ). O Tia AO cắt đoạn thẳng BC tại .L Gọi A là điểm đối xứng với A qua đường thẳng . BC Giả sử tiếp tuyến qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC  cắt các tia , AB AC lần lượt tại các điểm , . D E

a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp các tam giác D A B  , E A C  , L A A  cùng đi qua một điểm khác . A b. Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . ADE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác JDE tiếp xúc với ( ). O

HẾT Họ tên thí sinh: ..................................................................... SBD: ................................................... Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .............................................

Trang 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

LÊ HỒNG PHONG

ĐÁP ÁN

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4

LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021

Ngày thi: 03/4/2021 MÔN THI: TOÁN 10 - THỜI GIAN: 180 phút

Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

Bài Nội dung Điểm

1

Cho , , a b c là độ dài các cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh

3 3 3

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3. 6 a b c abc a b b c c a            3,0

Do , , a b c là độ dài ba cạnh tam giác nên

0 0 2 2 0 1 c a b c a b c c            . Chứng minh tương tự, ta được 0 1, 0 1 a b    .

Đặt 2 2 2 2 2 2. A a b b c c a      

Ta có 2 2 2 6( ) 6( ) 2 3 A a b c a b c        . (1)

2,0

Nhận xét: Từ 0 , , 1 a b c   suy ra   2 2 2 4 a b a b     .

Ta có

2 2 2 2

2 2 ( ) ( ) 2( ) . 4 2( )

a b a b a b a b

a b a b

         

Viết 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta có



2 2 2

2 2 2 3 3 3

( ) ( ) ( ) 2 4 4 ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2

a b b c c a A

a b b c c a a b c abc

      

         

Từ(1) và (2), ta có điều phải chứng minh.

1,0