Giải Bài 10.6 trang 101 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận dạng hình tạo thành.

Hình thang $ABCD$ có $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$ nên $AB \parallel DC$ và cùng vuông góc với $AD$, với $AB = 4$ cm, $DC = 8$ cm, $AD = 3 + 6 = 9$ (cm).

Khi quay hình thang vuông $ABCD$ quanh cạnh $AD$ một vòng, cạnh $AB$ quét thành hình tròn bán kính $4$ cm (mặt trên), cạnh $DC$ quét thành hình tròn bán kính $8$ cm (mặt đáy), cạnh xiên $BC$ quét thành mặt xung quanh. Hình tạo thành là một hình nón cụt. Ta tính thể tích của nó bằng hiệu thể tích hai hình nón.

Tính thể tích.

Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ với đường thẳng $AD$. Vì $AB \parallel DC$ nên $\triangle EAB \backsim \triangle EDC$, suy ra

$$\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{AB}{DC} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2},$$

do đó $ED = 2EA$. Mặt khác $ED = EA + AD = EA + 9$, nên $EA = 9$ cm và $ED = 18$ cm.

Khi quay quanh $AD$, tam giác vuông $EDC$ quét thành hình nón lớn đỉnh $E$, bán kính đáy $R = 8$ cm, chiều cao $ED = 18$ cm:

$$V_1 = \dfrac{1}{3}\pi R^2 \cdot ED = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 18 = 384\pi \ (\text{cm}^3).$$

Tam giác vuông $EAB$ quét thành hình nón nhỏ đỉnh $E$, bán kính đáy $r = 4$ cm, chiều cao $EA = 9$ cm:

$$V_2 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot EA = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 48\pi \ (\text{cm}^3).$$

Thể tích hình cần tìm là

$$V = V_1 - V_2 = 384\pi - 48\pi = 336\pi \approx 1055{,}6 \ (\text{cm}^3).$$

Vậy thể tích của hình tạo thành là $V = 336\pi \approx 1055{,}6$ cm³.

Đáp số