Giải Bài 5.26 trang 108 SGK Toán 9

Lời giải

Nhận xét chung. Cả hai đường tròn $(O;OA)$ và $(O';O'A)$ đều đi qua điểm $A$, lại có hai tâm $O$, $O'$ cùng nằm trên một đường thẳng với $A$. Do đó $A$ nằm trên đường nối tâm, nên hai đường tròn tiếp xúc nhau tại $A$. Việc còn lại là so sánh $OO'$ với hai bán kính $R=OA$ và $r=O'A$ để biết tiếp xúc trong hay tiếp xúc ngoài (tiếp xúc ngoài khi $OO'=R+r$; tiếp xúc trong khi $OO'=|R-r|$).

a) Điểm $A$ nằm giữa $O$ và $O'$.

Vì $A$ nằm giữa $O$ và $O'$ nên:
$$OO' = OA + O'A.$$
Đây chính là hệ thức $OO' = R + r$ (tổng hai bán kính). Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau tại $A$ (hai tâm nằm về hai phía của $A$).

b) Điểm $O$ nằm giữa $A$ và $O'$.

Vì $O$ nằm giữa $A$ và $O'$ nên $AO' = AO + OO'$, suy ra:
$$OO' = O'A - OA.$$
Đây là hệ thức $OO' = r - R = |R-r|$ (hiệu hai bán kính, với $r>R$). Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau tại $A$ (đường tròn $(O;OA)$ nằm trong đường tròn $(O';O'A)$).

c) Điểm $O'$ nằm giữa $A$ và $O$.

Vì $O'$ nằm giữa $A$ và $O$ nên $AO = AO' + O'O$, suy ra:
$$OO' = OA - O'A.$$
Đây là hệ thức $OO' = R - r = |R-r|$ (hiệu hai bán kính, với $R>r$). Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau tại $A$ (đường tròn $(O';O'A)$ nằm trong đường tròn $(O;OA)$).

Vẽ hình kiểm chứng: ở cả ba trường hợp, vẽ đường thẳng chứa $O,A,O'$ rồi dựng hai đường tròn, ta thấy chúng chỉ gặp nhau đúng tại điểm $A$ — đúng như dự đoán: trường hợp a) chạm nhau từ bên ngoài, còn

b) và

c) một đường tròn nằm lọt trong đường tròn kia.

Đáp số