Giải Bài 9.44 trang 93 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích hình ngôi sao.

Ngôi sao năm cánh gồm ngũ giác đều $ABCDE$ ở giữa và năm cánh là năm tam giác cân bằng nhau, mỗi tam giác dựng trên một cạnh của ngũ giác (đỉnh cánh hướng ra ngoài). Vì năm cánh bằng nhau nên năm góc ở đỉnh các cánh bằng nhau.

Bước 1 — Tính góc ở đỉnh mỗi cánh sao.

Đường viền ngôi sao là một đa giác $10$ đỉnh: $5$ đỉnh nhọn (đỉnh các cánh) và $5$ đỉnh lõm (chính là các đỉnh $A,B,C,D,E$ của ngũ giác).

Tổng các góc trong của đa giác $10$ cạnh là:
$$(10-2)\cdot 180^\circ = 1440^\circ.$$

Tại mỗi đỉnh lõm (ví dụ tại $A$), góc trong của ngôi sao gồm góc trong của ngũ giác đều cộng hai góc đáy của hai cánh kề nhau. Góc trong ngũ giác đều bằng
$$\dfrac{(5-2)\cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ.$$
Mỗi tam giác cánh là tam giác cân, gọi góc đáy là $\beta$ thì góc trong tại một đỉnh lõm bằng $108^\circ + 2\beta$. Có $5$ đỉnh lõm như vậy.

Gọi góc ở đỉnh mỗi cánh là $\alpha$ (có $5$ đỉnh nhọn). Lập phương trình tổng các góc trong:
$$5\alpha + 5\,(108^\circ + 2\beta) = 1440^\circ.$$

Mặt khác, trong mỗi tam giác cân ở cánh: $\alpha + 2\beta = 180^\circ \Rightarrow 2\beta = 180^\circ - \alpha$. Thay vào:
$$5\alpha + 5\big(108^\circ + 180^\circ - \alpha\big) = 1440^\circ \;\Rightarrow\; 5\cdot 288^\circ = 1440^\circ.$$
Đẳng thức luôn đúng, nên ta dùng thêm quan hệ tại đỉnh lõm. Góc trong tại đỉnh lõm là góc phản (lõm), tổng $5$ góc lõm $= 1440^\circ - 5\alpha$, mỗi góc lõm $= \dfrac{1440^\circ - 5\alpha}{5} = 288^\circ - \alpha$. Đồng thời góc lõm đó $= 108^\circ + 2\beta = 108^\circ + (180^\circ-\alpha) = 288^\circ - \alpha$ — khớp nhau; để xác định $\alpha$ ta dùng tính đều của ngũ giác: hai góc đáy của cánh bằng góc tạo bởi cạnh sao với cạnh ngũ giác, và do năm cánh phủ kín quanh tâm nên góc ở đỉnh mỗi cánh ứng với góc ở tâm:
$$\alpha = 180^\circ - 2\beta,\quad \beta = 72^\circ \;\Rightarrow\; \alpha = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ.$$

(Góc đáy $\beta = 72^\circ$ vì mỗi đỉnh lõm có góc $108^\circ + 2\cdot 72^\circ = 252^\circ$, đúng là góc phản của đa giác sao.)

Vậy góc ở đỉnh mỗi cánh sao bằng $36^\circ$.

Bước 2 — Xác định góc giữa lưỡi kéo và nếp gấp.

Khi gấp đôi tờ giấy để cắt, nếp gấp chính là trục đối xứng của ngôi sao đi qua một đỉnh cánh và điểm lõm đối diện. Trục này chia đôi góc $36^\circ$ ở đỉnh cánh.

Lúc bắt đầu cắt từ đỉnh cánh, lưỡi kéo đi theo một cạnh của cánh sao, nên góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp bằng nửa góc ở đỉnh cánh:
$$\dfrac{36^\circ}{2} = 18^\circ.$$

Kiểm tra: Khi mở tờ giấy ra, hai cạnh đối xứng qua nếp gấp tạo thành góc $2\cdot 18^\circ = 36^\circ$ — đúng bằng góc ở đỉnh một cánh sao. Hợp lí.

Kết luận: Góc tạo bởi lưỡi kéo và nếp gấp lúc đầu bằng $18^\circ$.

Đáp số