Giải Luyện tập 2 trang 102 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Gọi hình vuông là $ABCD$ có cạnh $6\ \text{cm}$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $I$. Vì hai đường chéo của hình vuông cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $I$ là tâm của hình vuông, đồng thời $I$ cách đều bốn cạnh. Ta sẽ tính khoảng cách từ $I$ đến mỗi cạnh rồi so sánh với bán kính $R = 3\ \text{cm}$.

Bước 1. Tính khoảng cách từ $I$ đến một cạnh.

Xét cạnh $AB$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Trong hình vuông, đoạn thẳng nối tâm $I$ với trung điểm $M$ của một cạnh thì vuông góc với cạnh đó (vì $IM$ song song với cạnh $BC$ kề bên, mà $BC \perp AB$), nên $IM \perp AB$. Do đó $IM$ chính là khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $AB$.

Độ dài $IM$ bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông:
$$IM = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\ (\text{cm}).$$

Bước 2. Khoảng cách từ $I$ đến cả bốn cạnh.

Lập luận hoàn toàn tương tự với ba cạnh còn lại $BC$, $CD$, $DA$, ta được khoảng cách từ tâm $I$ đến mỗi cạnh đều bằng:
$$d = 3\ \text{cm}.$$

Bước 3. Kết luận bằng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Xét đường tròn $(I;\ 3\ \text{cm})$, tức $R = 3\ \text{cm}$. Với mỗi cạnh của hình vuông, khoảng cách từ tâm $I$ đến đường thẳng chứa cạnh đó là $d = 3\ \text{cm}$.

Vì $d = R\ (= 3\ \text{cm})$ nên theo dấu hiệu nhận biết, mỗi đường thẳng chứa cạnh của hình vuông đều tiếp xúc với đường tròn $(I;\ 3\ \text{cm})$; tiếp điểm chính là trung điểm của cạnh (chân đường vuông góc hạ từ $I$). Hơn nữa, tiếp điểm nằm ngay trên cạnh (đoạn thẳng) chứ không nằm ngoài, nên đường tròn tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông.

Vậy đường tròn $(I;\ 3\ \text{cm})$ tiếp xúc với cả bốn cạnh của hình vuông (đpcm).

Đáp số