Giải Bài 9.13 trang 80 SGK Toán 9

Lời giải

Phân tích. Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $OA = OB = OC = R$ (bán kính). Do đó các tam giác $OAB$, $OBC$, $OCA$ đều là tam giác cân tại $O$.

Bước 1. Tính $\widehat{AOC}$.

Tam giác $OCA$ cân tại $O$ (vì $OA = OC$) nên hai góc ở đáy bằng nhau:
$$\widehat{OAC} = \widehat{OCA} = 20^\circ.$$
Tổng ba góc trong tam giác $OCA$:
$$\widehat{AOC} = 180^\circ - \widehat{OAC} - \widehat{OCA} = 180^\circ - 20^\circ - 20^\circ = 140^\circ.$$

Bước 2. Tính $\widehat{AOB}$.

Ba góc ở tâm $O$ phủ kín một vòng:
$$\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COA} = 360^\circ.$$
Suy ra
$$\widehat{AOB} = 360^\circ - 120^\circ - 140^\circ = 100^\circ.$$

Bước 3. Dùng quan hệ giữa góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung.

- $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BOC}$ cùng chắn cung $BC$, mà góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm:
$$\widehat{A} = \widehat{BAC} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{BOC} = \tfrac{1}{2}\cdot 120^\circ = 60^\circ.$$
- $\widehat{ABC}$ và $\widehat{AOC}$ cùng chắn cung $AC$:
$$\widehat{B} = \widehat{ABC} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOC} = \tfrac{1}{2}\cdot 140^\circ = 70^\circ.$$
- $\widehat{ACB}$ và $\widehat{AOB}$ cùng chắn cung $AB$:
$$\widehat{C} = \widehat{ACB} = \tfrac{1}{2}\,\widehat{AOB} = \tfrac{1}{2}\cdot 100^\circ = 50^\circ.$$

Bước 4. Kiểm tra lại.

Tổng ba góc của tam giác $ABC$:
$$\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 60^\circ + 70^\circ + 50^\circ = 180^\circ \ \checkmark$$

Kiểm tra thêm với giả thiết $\widehat{OCA} = 20^\circ$: tam giác $OBC$ cân tại $O$ nên $\widehat{OCB} = \dfrac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$, do đó $\widehat{ACB} = \widehat{OCA} + \widehat{OCB} = 20^\circ + 30^\circ = 50^\circ$, đúng bằng $\widehat{C}$ đã tính. Vậy kết quả nhất quán.

Kết luận: $\widehat{A} = 60^\circ,\ \widehat{B} = 70^\circ,\ \widehat{C} = 50^\circ.$

Đáp số